$Sp(2n)$ está incrustado en $GL(2n)$ e tiene dimensión $2n^2+n$

Question

Deje $Sp(2n):=\{A\in\mathbb{R}^{2n\times 2n}\mid A^tA_0A=A_0\}$ el grupo de symplectomorphisms de $(\mathbb{R}^{2n},\omega_0)$ a, donde:

\begin{gather} A_0 := \begin{bmatrix}{} 0 & I\\ -I & 0\\ \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{2n\times 2n} \end{se reúnen}

representa el estándar de la forma simpléctica $\omega_0$ con respecto a la base canónica de $\mathbb{R}^{2n}$. Demostrar que $Sp(2n)$ es un integrado submanifold de $GL(2n)$ e tiene dimensión $2n^2+n$.

Sé que la idea esencial es buscar en el mapa: \begin{align*} f:GL(2n)&\to \text{Sympl}(2n)\\ A & \mapsto A^tA_0A \end{align*}

donde $\text{Sympl}(2n):=\{A\in\mathbb{R}^{2n\times 2n}\mid A=-A^t\text{ and }\det A\neq 0\}$, que es el submanifold de simpléctica formas y tiene dimensión $\frac{(2n)^2-2n}{2}$.

Teniendo en cuenta que $f$ es una inmersión, tenemos $Sp(2n)=f^{-1}(A_0)$ es un integrado submanifold con dimensión $\dim (GL(n))-\dim (\text{Sympl}(2n))=(2n)^2-\left(\frac{(2n)^2-2n}{2}\right)=2n^2+n$ por el Regular Teorema del Valor.

Mi pregunta es muy básica: ¿cómo demuestro $f$ es una inmersión? He tratado de calcular el $df_A(M)$ al tomar la curva de $\alpha(t)=A+tM$, por lo que: \begin{align*} df_A(M)&=(f\circ \alpha)'(0)\\ &=(A^tA_0A+tA^tA_0M+tM^tA_0A+t^2M^tA_0M)'(0)\\ &=A^tA_0M+M^tA_0A \end{align*} pero no sé cómo probar que esto es surjective, y parece complicado. ¿Hay algún truco? O hay una mejor manera?

Answer 1

En primer lugar tengo que decir que mi respuesta es muy similar a la que ya se ha citado en los comentarios, yo quiero centrarme un poco más de uno de los surjectivity parte que se solicitó explícitamente en su pregunta. Así, nos gustaría demostrar que $$df_A\colon M\mapsto A^tA_0M+M^tA_0A$$ es surjective en el espacio de sesgar-simétrica $2n\times 2n$ matrices. Con el fin de utilizar de forma regular teorema del valor, es suficiente para hacerlo por $A$ tal que $f(A)=A_0$, es decir,$A^tA_0A=A_0$. Para cualquier $A$, tenemos $f(A)=f(I)$ donde $I$ es la unidad de la matriz. Para cualquier $A'\in\mathrm{GL}(2n)$, vamos a $\varphi_{A'}\colon \mathrm{GL}(2n)\rightarrow \mathrm{GL}(2n)$ denotar la multiplicación con $A'$. Entonces $$f(A)=f(I)=f\circ \varphi_{A^{-1}}(A),$$ es decir, $$df_A=df_I\circ d(\varphi_{A^{-1}})_A.$$ Como $d(\varphi_{A^{-1}})_A$ es claramente bijective, sólo tenemos que demostrar $df_I$ surjective. (esto es todavía todo como en la respuesta citada arriba, en los comentarios.) A partir de aquí, vamos a hacer el explícito cálculos: $d(\varphi_{A^{-1}})_A\colon T_A\mathrm{GL}(2n)\rightarrow T_I\mathrm{GL}(2n)$ está dado por $M\mapsto A^{-1}M$, por lo que nos gustaría resolver $$df_I(M')=A_0M'+M^tA_0'=A_0M'-(A_0M')^t=B$$ para un dado (skew-simétrica) $B$ donde $M'=A^{-1}M$ $M$ satisfacción $df_A(M)=B$. Podemos simplificar esta configuración de $M'':=A_0M'$, para obtener $$M''-(M'')^t=B.$$ Aquí, tal vez un poco de truco está involucrado, uno tiene que recordar que $B$ fue tomado de sesgar-matrices simétricas, por lo $B^t=-B$, en particular, $B-B^t=2B$, lo que da la solución de $M''=\frac{1}{2}B$, es decir, $$M=AM'=-AA_0M''=-\frac{1}{2}AA_0B$$ tiene la propiedad deseada $df_A(M)=B$.