Ejercicio en las propiedades de la integración

Question

<blockquote> <p>Supongamos que $f(x)$ es continua en $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$. Supongamos que $m \leq f' \leq M$ $(a, b)$ y denotar $\mu = \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}$. Demostrar que %#% $ #%</p> </blockquote> <p>El libro sugerido comparar $$\left|\int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x - \frac{f(a) + f(b)}{2}(b-a)\right| \leq \frac{(M-\mu)(\mu - m)}{2(M-m)}(b-a)^2.$ por trozos funciones lineales, pero no saben hacerlo. He intentado utilizar MVT ya $f(x)$ era de esa forma, pero no sé cómo proceder.</p>

Answer 1

$\def\d{\mathrm{d}}$En primer lugar, defina$$ g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b} x - \frac{b, f(a) - f(b)}{b}, $$ entonces $g(a) = g(b) = 0$, $m - μ \leqslant g' \leqslant M - μ$, y$$ \left| \int_a^b f(x) \,\d x - \frac{1}{2} (f(a) + f(b))(b - a) \right| = \left| \int_a^b g(x) \,\d x \right|. $$

Ahora definir $M' = M - μ \geqslant 0$, $m' = m - μ \leqslant 0$, y$$ x_1 = \frac{M' - m' b}{M' - m'},\ x_2 = \frac{M b - m' a}{M' - m'}, $$\begin{align*} g_1(x) &= \begin{cases} M'(x - a); & a \leqslant x \leqslant x_1\\ m'(x - b); & x_1 < x \leqslant b \end{casos}\\ g_2(x) y= \begin{cases} m'(x - a); & a \leqslant x \leqslant x_2\\ M'(x - b); & x_2 < x \leqslant b \end{casos} \end{align*} Aquí está una figura:

Tenga en cuenta que $g_1$ $g_2$ son continuos y por tramos lineales. El próximo será demostrado que$$ g_2(x) \leqslant g(x) \leqslant g_1(x). \quad \forall \leqslant x \leqslant b $$ Supongamos que existe $x_0 \in (a, b)$ tal que $g(x_0) > g_1(x_0)$. Si $a < x_0 \leqslant x_1$,$$ M' < \frac{g(x_0) - g(a)}{x_0 - a} = g'(ξ_1) \leqslant M', $$ una contradicción. Si $x_1 < x_0 < b$,$$ m' > \frac{g(b) - g(x_0)}{b - x_0} = g'(ξ_2) \geqslant m', $$ una contradicción. Por lo tanto $g(x) \leqslant g_1(x)$$x \in [a, b]$. De forma análoga, $g(x) \geqslant g_2(x)$$x \in [a, b]$. Por lo tanto,$$ \int_a^b g(x) \,\d x \leqslant \int_a^b g_1(x) \,\d x = -\frac{M' M'}{2(M' - m')} (b - a)^2,\\ \int_a^b g(x) \,\d x \geqslant \int_a^b g_2(x) \,\d x = \frac{M' M'}{2(M' - m')} (b - a)^2, $$ lo que implica$$ \left| \int_a^b g(x) \,\d x \right| \leqslant \left| -\frac{M' M'}{2(M' - m')} (b - a)^2 \right| = -\frac{M' M'}{2(M' - m')} (b - a)^2, $$ a continuación,\begin{align*} &\mathrel{\phantom{=}}{} \left| \int_a^b f(x) \,\d x - \frac{1}{2} (f(a) + f(b))(b - a) \right| = \left| \int_a^b g(x) \,\d x \right|\\ &\leqslant -\frac{M' m'}{2(M' - m')} (b - a)^2 = \frac{(M - μ)(μ - m)}{2(M - m)} (b - a)^2. \end{align*}