¿Existe una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\setminus{0}$ tal que $(x-y)^2 \geq 4f(x)f(y), \forall x \neq y \in \mathbb{R}$?
Spoiler
Conozco una prueba usando countability. Pero, ¿hay alguna prueba sin utilizar?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Micah
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Corrección de algunos de los verdaderos $x$, y considerar la posibilidad de una secuencia $\{x_n\}$ tal que $x_n \to x$. Podemos dividir esta secuencia en una larga $\{p_n\}$ compuesto de los términos con $f(p_n)$ positivo, y una larga $\{q_n\}$ compuesto de los términos con $f(q_n)$ negativo.
Supongamos $p_n$ es infinito; entonces es de Cauchy. Tome $\epsilon>0$; elija $N$ tal que $|p_n-p_m|<\epsilon$ todos los $n,m>N$. A continuación,$0 < f(p_m)f(p_n) \leq 4\epsilon^2$. De ello se sigue que no puede haber más de una $n>N$$f(p_n) >2\epsilon$. Por lo $\lim_{n \to \infty} f(p_n)=0$. Del mismo modo, si $\{q_n\}$ es infinito,$\lim_{n \to \infty} f(q_n) = 0$. Desde $p_n$ $q_n$ partición $x_n$, se deduce que el $\lim_{n \to \infty} f(x_n)=0$.
Pero $x_n$ fue una secuencia arbitraria convergentes a $x$. Desde $\Bbb{R}$ es la primera contables, esto significa que $\lim_{y \to x} f(y)=0$. Por otra parte, $x$ fue arbitraria, y por lo que este límite es cero para todos los $x \in \Bbb{R}$.
Ahora, definir $$ g(x)=\begin{cases}0 & x \in \Bbb{Q} \\ f(x) & \text{otherwise}\end{casos} $$ A continuación, también se $\lim_{y \to x} g(x)=0$ todos los $x$. Desde $f(x)$ es distinto de cero en todas partes, $g(x)$ es continua en cada número racional y discontinua en cada uno de los irracionales. Pero (como se muestra aquí) se deduce a partir de la categoría de Baire teorema de la que no hay tal función puede existir. Desde $g$ no existe, se sigue que $f$ no. Así que no hay ningún lugar-cero de la función que satisface la desigualdad.
