Encuentra todos los puntos racionales en $x^2 + y^2 = 17$

Question

Así que sí, esto se preguntó antes pero estoy atascado en un paso específico.

Así que para resolver esto, traté de encontrar la intersección entre la línea $y=m(x-1)+4$ (tenemos $(1, 4)$ como punto racional del círculo) y $x^2 + y^2 = 17$ . Así que simplemente la sustitución, $x^2 + (m(x-1)+ 4)^2 = 17 \implies m^2(x-1)^2 + 8m(x-1) + x^2 - 1 = 0$ .

Ahora quiero encontrar las raíces para obtener todos los puntos racionales, pero no estoy seguro de cómo se obtienen las raíces de esta ecuación. Estoy atascado en el álgebra. Apreciaría la ayuda.

Answer 1

Aunque ya tienes respuestas en una dirección, me imagino que vale la pena mostrar un ángulo diferente de aproximación al problema: ya que "por inspección" tenemos una solución particular $x=4, y=1$ al problema, y utilizando la identidad del producto de la suma de dos cuadrados, podemos construir un mapa entre las soluciones de $x^2+y^2=1$ y soluciones de $x^2+y^2=17$ .

Con más detalle: la ecuación $x^2+y^2=17$ es más fácil de pensar conceptualmente como $|z|^2=17$ con $z=x+iy$ . Visto a través de esta lente, está claro que dada nuestra solución específica $z_0=4+i$ entonces tenemos $\left|\frac z{z_0}\right|^2=1$ siempre que $|z|^2=17$ ; por el contrario, si $|w|^2=1$ entonces $|z_0w|^2=17$ . Como los números complejos forman un campo, estos mapas son biyecciones: si $z_0z=z_0w$ entonces $z=w$ y, de forma similar, si $\frac{z}{z_0}=\frac{w}{z_0}$ . Además, como $z_0$ es un número complejo "racional", entonces las biyecciones llevan racionales a racionales.

Pero resolviendo la ecuación $x^2+y^2=1$ en los racionales lo mismo que resolver la ecuación pitagórica $a^2+b^2=c^2$ y su familia de soluciones primitivas está bien establecida; puedes usarlas para escribir soluciones explícitas a tu ecuación.

(Añadiré a posteriori que esto es en realidad una forma algebraica de ver el planteamiento que has hecho; la multiplicación por $z_0$ es lo mismo que rotar y escalar el plano complejo, llevando el círculo $|z|^2=1$ al círculo $|z|^2=17$ y llevando el punto $(1,0)$ - es decir, $z=1$ - al grano $(4,1)$ , que es sólo un $xy$ se aleja de ser el punto que estabas usando para tu proyección, y una forma de encontrar las soluciones canónicas de la ecuación pitagórica es proyectando desde el círculo de forma muy parecida a como se hizo en el post original aquí. Así que los dos enfoques son realmente la misma cosa en cada paso del camino, pero encuentro el enfoque algebraico un poco más fácil de entender).

Answer 2

Obsérvese que si podemos obtener todas las soluciones dentro del primer cuadrante, hemos terminado.

Empezando por las dos ecuaciones del PO,

$\qquad y=m(x-1)+4$

y

$\qquad m^2(x-1)^2 + 8m(x-1) + x^2 - 1 = 0$

después de haber descontado $x - 1$ y empleando un poco de álgebra, podemos obtener todos los racionales del arco del primer cuadrante $(0,\sqrt 17) \text{ to } (\sqrt 17,0)$ de manera biyectiva tomando $m \in \mathbb Q$ y que pertenece al intervalo abierto

$\tag 1 m \in (-\frac{4}{\sqrt {17} -1},\; 4 - \sqrt {17})$

y la asignación de la misma

$\tag 2 x\text{-coordinate}(m) = 1 -\frac{(8m+2)}{(m^2+1)}$

Comprobación de la validez de (2): Para $m = -1/2$ obtenemos $x$ y luego resolver para $y$ encontramos la solución $(\frac{13}{5}, \frac{16}{5})$ .

Una idea de última hora: El mapeo (2) es en realidad todo lo que se requiere para responder a la pregunta. Cuando empecé a trabajar en esto restringí atención al primer cuadrante, pero eso sólo hizo las cosas más complicadas. Es interesante ver una correspondencia biyectiva al cuadrante, pero ...

Ahora, al utilizar (2) para todos los números reales $m$ hay que tener en cuenta que sólo un valor de $y$ que se encuentra tomando la raíz cuadrada estrictamente funciona, es decir, representa la intersección de la línea en el círculo no igual a $(1,4)$ . Así que se puede describir una biyección de nuevo, pero el algoritmo es un poco complicado:

"tirar el $y$ de los dos encontrados que no funciona"

Como comprobación geométrica final de nuestro álgebra, nótese que como $m$ va a $\pm\infty$ El $x\text{-coordinate}$ encontrado con (2) va a $1$ como esperado (imagínense las líneas trazadas a través de $(1,4)$ ). En la misma línea, sólo hay que enchufar $m = 0$ en (2).

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Aquí está el álgebra de "factorización" que el OP estaba buscando:

$\quad m^2(x-1)^2 + 8m(x-1) + x^2 - 1 = 0 \text{ iff }$
$\quad m^2(x-1)^2 + 8m(x-1) + (x - 1)^2 + 2(x-1) = 0 \text{ iff }$
$\quad m^2(x-1) + 8m + (x - 1) + 2 = 0 \; \text{ or } x = 1 \text{ iff }$
$\quad (m^2 + 1)(x-1) + 8m + 2 = 0 \; \text{ or } x = 1$

Así que ignorando el $x = 1$ solución, tenemos

$\quad x = 1 - \frac{8m + 2}{m^2 + 1}$

que también puede expresarse como $\frac{m^2 -8m - 2}{m^2 + 1}$ como se demuestra en la respuesta de Eric Towers.

Answer 3

Como Crostul observa , usted tiene un factor evidente de $x-1$ . De hecho, tiene $$\begin{align*} 0 &= m^2(x-1)^2 + 8m(x-1) + x^2 - 1 \\ &= (m^2+1) x^2 + (-2m^2 + 8 m) x + (m^2 - 8m -1) && \text{(but don't go here)}\\ &= (x-1)( (m^2 +1)x -m^2 + 8m + 1) \text{.} \end{align*}$$

Answer 4

Sale mejor si lo haces $$(x,y) = (1,4) + t(p,q)$$ con números enteros $p,q$ y $\gcd(p,q) = 1.$ $$x = 1 + tp, \; \; y = 4 + t q \; .$$ $$17 = x^2 + y^2 = 1 + 2 p t + p^2 t^2 + 16 + 8 q t + q^2 t^2 \; ,$$ $$17 = 17 + (2p + 8 q) t + (p^2 + q^2 ) t^2 \; ,$$ $$0 = (2p + 8 q) t + (p^2 + q^2 ) t^2 \; .$$ A continuación, vemos que $t=0$ es un desperdicio, y dividir por $t \neq 0$ $$0 = (2p + 8 q) + (p^2 + q^2 ) t \; ,$$ $$(p^2 + q^2 ) t = - (2p + 8 q) \; ,$$ $$t = - \frac{2p + 8 q}{p^2 + q^2} \; \; .$$ Entonces $$x = 1 + tp, \; \; y = 4 + t q \;$$ da $$x = \frac{p^2 + q^2 -2p^2 - 8 pq}{p^2 + q^2} = \frac{-p^2 - 8pq + q^2 }{p^2 + q^2} \; \; ,$$ $$y = \frac{4p^2 + 4q^2 -2pq - 8 q^2}{p^2 + q^2} = \frac{4p^2 - 2pq -4 q^2 }{p^2 + q^2} \; \; .$$ Obsérvese que ambas formas cuadráticas binarias $-p^2 - 8pq + q^2 \; , \; \; 4p^2 - 2pq -4 q^2 \; \;$ tienen discriminante $68 = 4 \cdot 17.$