Demuestre que$x\mapsto e^x$ es continuo en$x_0 = 1$ ($\delta-\varepsilon$ proof)

Question

Demostrar que la función $$f(x)=e^x:=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$$ is continuous at $x_0=1$ utilizando el delta epsilon definición de continuo, el cual es:

$$\forall \varepsilon >0 \exists \delta>0 (\forall x\in D:|x-x_0|<\delta) |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$$

Puesto que, en este contexto particular, el límite dentro de $e^x$ fue demostrado para ser convergente para todos los $x$ usando la desigualdad de Bernoulli y monótono teorema de convergencia, yo estoy luchando para ver cómo puedo solicitar un delta epsilon prueba aquí. En mi limitada experiencia, he aplicado nada más que simples funciones algebraicas, pero esto es bastante significativamente diferentes. ¿Cómo puedo empezar?

Answer 1

Se demostró previamente que el límite es convergente. Esto significa $$\forall\epsilon>0\;\exists N\in\mathbb{N}\;{s.t.}\;n\geq N\implies\left|e^x-\left(1-\frac{x}{n}\right)^n\right|<\epsilon$$ Para probar la continuidad de la función definida por, queremos mostrar $$\left|f(x)-f(x_0)\right|=\left|\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{x}{n}\right)^n - \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{x_0}{n}\right)^n\right|<\epsilon$$ Nuestro enfoque para reducir este a $$\left|e^x-e^{x_0}\right|<\epsilon$$ que es un bien conocido y fácil de probar función continua. Vamos a empezar por la elección de $N$, de modo que la sucesión es convergente. Ahora vamos a hábilmente agregar cero. $$\begin{align}\left|\left(1-\frac{x}{n}\right)^n - e^x + e^x - \left(1-\frac{x_0}{n}\right)^n\right|&\leq\left|e^x-\left(1-\frac{x}{n}\right)^n\right|+\left|e^x-\left(1-\frac{x_0}{n}\right)^n\right|\\&<\frac{\epsilon}{3}+\left|e^x-\left(1-\frac{x_0}{n}\right)^n\right|\\ &=\frac{\epsilon}{3}+\left|e^x-e^{x_0}+e^{x_0}-\left(1-\frac{x_0}{n}\right)^n\right|\\ &<\frac{2\epsilon}{3}+\left|e^x-e^{x_0}\right|\end{align}$$ Queremos elegir un $\delta$ tal que $$\left|e^x-e^{x_0}\right|\leq\frac{\epsilon}{3}$$ Considere el caso de que $x\geq x_0$, entonces considere el $e^x-e^{x_0}=e^{x_0}\left(e^{x-x_0}-1\right)$. De modo que podemos elegir un $\delta$ tal que $$e^{x_0}\left(e^\delta-1\right)=\frac{\epsilon}{3}\implies\delta=\ln\left(1+e^{-x_0}\frac{\epsilon}{3}\right)$$ que es lo que queríamos demostrar. El mismo puede ser demostrado por $x_0>x$. Tenga en cuenta que esta $\delta$ es dependiente de $x_0$, lo que indica el punto sabio continuidad.

Edit: Solucionado, basado en Jason DeVito del contraejemplo.

Answer 2

Aquí hay algunos consejos que le ayudarán. Es sólo escribir con más detalles.

Deje $x_0\in\mathbb R$ $\epsilon>0$ ser arbitraria de números reales.

Observe que $$|e^x - e^{x_0}| = |e^x - (1+x/n)^n + (1+x/n)^n - (1+{x_0}/n)^n + (1+{x_0}/n)^n - e^{x_0}| \leq |e^x-(1+x/n)^n| + |(1+x/n)^n-(1+{x_0}/n)^n| + |(1+{x_0}/n)^n-e^{x_0}|$$ así que un $\epsilon/3$-argumento sería una buena idea.

De curso $|e^x-(1+x/n)^n|$ $|(1+{x_0}/n)^n-e^{x_0}|$ llegar lo suficientemente pequeño ( $<\epsilon/3$ )$n$$\infty$.

Por lo que es suficiente para mostrar que $|(1+x/n)^n-(1+{x_0}/n)^n|$ llegar lo suficientemente pequeño ( $<\epsilon/3$ )$x$$x_0$. Bien, aquí podemos utilizar el hecho de que para una fija $n$ la función de $z\mapsto(1+z/n)^n$ es continua en a $x$ (es un polinomio).

Espero que ayude.

Answer 3

Dado que ya has cubierto la parte más difícil de demostrar que el límite de secuencia $(1+(x/n))^{n}$ existe para todos los verdaderos $x$, la continuidad de la función definida a través de este límite no parece tan difícil.

Establecer que $e^{x+y} =e^xe^y$ y, a continuación, tenga en cuenta que $$|e^x-e|=e|e^{x-1}-1|$$ and then use the inequality (you need to prove this too) $$1+x\leq e^x\leq \frac{1}{1-x}$$ for $0<x<1$. This should help you to prove that $e^x$ is continuous at $1$ by finding an appropriate $\delta$.

Déjeme saber si usted tiene dificultad para proceder de esta manera y, a continuación, voy a dar más detalles. Como un bono de que la desigualdad se mencionó anteriormente es fundamental y poderosa, y puede ser usado para demostrar que $e^x$ es diferenciable en todas partes con la derivada igual a sí mismo.

Answer 4

Voy a inicialmente escribir $\exp(x)$ en lugar de $e^x$ a lesssen la tempatation para el uso exponencial de las reglas, hasta que mostramos $\exp(x)$ realmente es una función exponencial. (Estoy asumiendo que ya han demostrado algunos exponencial leyes de tu clase).

Asumiendo $x > 0$,$m = n/x$, por lo que el$m\rightarrow \infty$$n\rightarrow \infty$. Sustituyendo esto en la da $\exp(x):=\lim_{n\rightarrow \infty} (1 + x/n)^n = \lim_{m\rightarrow \infty} (1 + 1/m)^{mx} = [\lim_{m\rightarrow \infty} (1+1/m)^m]^x = \exp(1)^x$. La definición de $e:=\exp(1)$, esto demuestra $\exp(x) = e^x$, así que realmente es una exponencial.

La siguiente afirmación de que si $e^x$ es continua en a$x_0 = 0$, $e^x$ es continua en todas partes. Para ver esto, elija $x_0\in\mathbb{R}$ supongamos $\epsilon>0$ es dado. A continuación,$|e^x - e^{x_0}| = |e^{x_0}(e^{x-x_0} - 1)| = e^{x_0}|e^{x-x_0} - 1|$. Por hipótesis, existe una $\delta$ con la propiedad de que si $|y|<\delta$,$|e^y - 1| < \frac{\epsilon}{e^{x_0}}$. A continuación, el uso de esta $\delta$ si $y=|x-x_0| < \delta$,$|e^x - e^{x_0}| = e^{x_0}|e^{x-x_0} - 1| < e^{x_0}\frac{\epsilon}{e^{x_0}} = \epsilon$, como se desee.

La siguiente afirmación de que si $e^x$ es continua por la derecha en a $x_0$, entonces automáticamente se continua por la izquierda en $x_0$. El punto es que $e^{x_0}\neq 0$, lo $1/e^x $ es continua por la derecha en a $x_0$. Pero $1/e^x = e^{-x}$, así que esto es lo mismo que ser continuo desde la izquierda.

Por lo tanto, sólo tenemos que mostrar que $e^x$ es continua por la derecha al $x_0=0$. Por lo tanto, vamos a $\epsilon > 0$ ser dado. Ahora, elija $\delta < \min\{1, \frac{\epsilon}{\epsilon+1}\}$.

Suponga $0<x<\delta$. A continuación, utilizando el teorema del binomio, \begin{align*} |e^x - 1| &= |\lim_{n\rightarrow\infty} (1+x/n)^n -1| \\ &= \left|\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=0}^n {n\choose k}\left( \frac{x}{n} \right)^k -1\right|\\ &= \left| \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n {n\choose k}\frac{1}{n^k} x^k\right| \end{align*}.

Necesitamos calcular ${n\choose k} \frac{1}{n^k}$. Estamos \begin{align*} {n\choose k}\frac{1}{n^k} = \frac{\overbrace{n(n-1)...(n-(k+1))}^{k\ terms}}{k!} \frac{1}{n^k} \\ &\leq \frac{n(n)...(n)}{k!} \frac{1}{n^k} \\ &= \frac{1}{k!}\\ &\leq 1\end{align*}

En particular, desde la $x> 0$, $$\left| \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n {n\choose k}\frac{1}{n^k} x^k\right|\leq \left|\sum_{k=1}^\infty x^k\right| = \left|\frac{x}{1-x}\right|,$$ where we use the geometric series formula (which is valid since $|x|<\delta < 1$.)

Ahora, uno fácilmente se comprueba que $\frac{x}{1-x} < \epsilon$ fib $x< \frac{\epsilon}{1+\epsilon}$, y desde $|x|<\delta < \frac{\epsilon}{1+\epsilon}$. Esto completa la prueba de que $f(x) = e^x$ es continua.