La red positiva de un débil * red convergente es débil * convergente.

Question

Supongo que $X$ es un unital $C^$-álgebra, $i:X\to X^{}$ es la natural inserción isométrica como espacio de Banach. Indicar $SX={x\in X:|x|=1}$, $S{X,+}={x\in X:|x|=1,x\ge 0}$, también lo hace en $S_{X^{},+}$. Necesito demostrar que $i(S_{X,+})$ es débil denso en $S_{X^{**},+}$.

Mi idea es la siguiente:

Supongamos que $\pi\in S{X^{**},+}$, por Teorema de Goldstein, existe una red $(x\lambda)\subset S{X}$ tal que $i(x\lambda)\to \pi$ débil . ¿Podemos demostrar que $i(|x_\lambda|)\to \pi$ débil ?

Si $X=\ell^1\Gamma$, en realidad, lo anterior funciona, pero no sé si es correcto generalmente.

Answer 1

No veo una forma directa de hacerlo (no digo que no la hay).

De un lado la ruta consiste en el uso de la representación concreta de $X^{**}$ como la envolvente de von Neumann álgebra $X''$$X$. La identificación se lleva a los débiles$^*$-topología en $X^{**}$ $\sigma$- topología débil en $X'',$ y conserva la positividad.

Ahora tenemos el resultado estándar que $S_{X,+}$ es SOT-denso en $S_{X'',+}$ (véase, por ejemplo, el Teorema I. 7.3 en Davidson C$^*$-Álgebras Por Ejemplo). Esto implica trivialmente que $S_{X,+}$ es WOT-denso en $S_{X'',+}$. Debido a que estamos trabajando en la unidad de la bola, el $\sigma$-topología débil está de acuerdo con la débil operador topología; por lo $S_{X,+}$ $\sigma$- débil denso en $S_{X'',+}$. Finalmente, por la identificación de arriba, $S_{X'',+}$ se corresponde con $S_{X^{**},+}$, lo $S_{X,+}$ es débil$^*$-denso en $S_{X^{**},+}$.

Por cierto, la prueba en Davidson del libro, junto con el argumento anterior, muestran que en su notación $\pi=\lim_\lambda x_\lambda^+=\lim_\lambda |x_\lambda|$.

Answer 2

Aquí es un argumento a favor de la declaración sobre el débil-* densidad, similar a la Goldstine teorema. Pensé que esto podría ser vale la pena ver aunque no es la cuestión principal. Tal vez hay una manera más fácil argumento.

Como un paso preliminar nota que no son funcionales a$\phi$$\pi(\phi)\approx 1,$, por lo que es suficiente para considerar la unidad de bolas $\|x\|\leq 1$, en lugar de esferas. Así que tenemos que mostrar que $\{x\in X\mid \|x\|\leq 1, x\geq 0\}$ es débil-* denso en $\{\pi\in X^{**}\mid \|\pi\|\leq 1, \pi\geq 0\}.$ Esto se desprende de una más general "Goldstine en un conjunto convexo":

Si $X$ es un espacio de Banach y $C\subseteq X$ es un conjunto convexo, incluyendo el cero, a continuación, $B_X\cap C$ es débil-* denso en el conjunto de $B_{X^{**}}\cap C^{**}$ donde $C^{**}$ es el doble doble de conjunto convexo: el conjunto de $\pi\in X^{**}$ satisfacción $\mathrm{Re}(\pi(\phi))\geq \inf_{x\in C}\mathrm{Re}(\phi(x))$ todos los $\phi\in X^{*}.$

Prueba: Fix $\phi_1,\dots,\phi_n\in X^*.$ Definir $\phi:X^{**}\to\mathbb C^n$ $\pi\mapsto(\pi(\phi_1),\dots,\pi(\phi_n)).$ Fix $\pi\in B_{X^{**}}\cap C^{**}.$ Tenemos que mostrar que $\phi(\pi)$ es en el cierre de $\phi(B_X\cap C).$

Caso 1: $\phi(B_X(1+\epsilon)\cap (C+B_X(\epsilon)))$ intersecta $\phi(\pi)$ por cada $\epsilon>0.$, En este caso, podemos recoger $c\in C$ $\|c\|\leq 1+2\epsilon$ $\phi(c)\to \phi(\pi).$ $\phi(c/\max(1,\|c\|))\to\phi(\pi).$

Caso 2: Para algunos $\epsilon>0$ el conjunto $\phi(B_X(1+\epsilon)\cap (C+B_X(\epsilon)))$ no se cruzan $\phi(\pi).$ Dividiendo $\epsilon$ por tres nos encontramos con que $B_X(1+\epsilon)\cap (C+B_X(\epsilon))\cap U$ está vacía donde $U$ es algunos convexo débil-* barrio de $\pi$ (específicamente $U=\phi^{-1}(\phi(\pi)+B_{X^{**}}(\epsilon))$). Por el de Hahn-Banach teorema de separación hay un no-cero lineal funcional $\psi$ y un real $t$ de manera tal que cada una de las $x\in B_X(1+\epsilon)\cap U$ satisface $\mathrm{Re}(\psi(x))\leq t,$, mientras que en cada una de las $x\in (C+B_X(\epsilon))\cap U$ satisface $\mathrm{Re}(\psi(x))\geq t.$ Desde $\psi$ es una tarjeta abierta y $\pi\in B_{X^{**}},$ debemos tener $\mathrm{Re}(\pi(\psi))<t.$ Nuevo usando ese $\psi$ es una tarjeta abierta, ya que $\pi\in C^{**}$ debemos tener $\mathrm{Re}(\pi(\psi))>t,$ una contradicción. $\Box$