Aquí es un argumento a favor de la declaración sobre el débil-* densidad, similar a la Goldstine teorema. Pensé que esto podría ser vale la pena ver aunque no es la cuestión principal. Tal vez hay una manera más fácil argumento.
Como un paso preliminar nota que no son funcionales a$\phi$$\pi(\phi)\approx 1,$, por lo que es suficiente para considerar la unidad de bolas $\|x\|\leq 1$, en lugar de esferas. Así que tenemos que mostrar que $\{x\in X\mid \|x\|\leq 1, x\geq 0\}$ es débil-* denso en $\{\pi\in X^{**}\mid \|\pi\|\leq 1, \pi\geq 0\}.$ Esto se desprende de una más general "Goldstine en un conjunto convexo":
Si $X$ es un espacio de Banach y $C\subseteq X$ es un conjunto convexo, incluyendo el cero, a continuación, $B_X\cap C$ es débil-* denso en el conjunto de $B_{X^{**}}\cap C^{**}$ donde $C^{**}$ es el doble doble de conjunto convexo: el conjunto de $\pi\in X^{**}$ satisfacción $\mathrm{Re}(\pi(\phi))\geq \inf_{x\in C}\mathrm{Re}(\phi(x))$ todos los $\phi\in X^{*}.$
Prueba: Fix $\phi_1,\dots,\phi_n\in X^*.$ Definir $\phi:X^{**}\to\mathbb C^n$ $\pi\mapsto(\pi(\phi_1),\dots,\pi(\phi_n)).$ Fix $\pi\in B_{X^{**}}\cap C^{**}.$ Tenemos que mostrar que $\phi(\pi)$ es en el cierre de $\phi(B_X\cap C).$
Caso 1: $\phi(B_X(1+\epsilon)\cap (C+B_X(\epsilon)))$ intersecta $\phi(\pi)$ por cada $\epsilon>0.$, En este caso, podemos recoger $c\in C$ $\|c\|\leq 1+2\epsilon$ $\phi(c)\to \phi(\pi).$ $\phi(c/\max(1,\|c\|))\to\phi(\pi).$
Caso 2: Para algunos $\epsilon>0$ el conjunto $\phi(B_X(1+\epsilon)\cap (C+B_X(\epsilon)))$ no se cruzan $\phi(\pi).$ Dividiendo $\epsilon$ por tres nos encontramos con que $B_X(1+\epsilon)\cap (C+B_X(\epsilon))\cap U$ está vacía donde $U$ es algunos convexo débil-* barrio de $\pi$ (específicamente $U=\phi^{-1}(\phi(\pi)+B_{X^{**}}(\epsilon))$). Por el de Hahn-Banach teorema de separación hay un no-cero lineal funcional $\psi$ y un real $t$ de manera tal que cada una de las $x\in B_X(1+\epsilon)\cap U$ satisface $\mathrm{Re}(\psi(x))\leq t,$, mientras que en cada una de las $x\in (C+B_X(\epsilon))\cap U$ satisface $\mathrm{Re}(\psi(x))\geq t.$ Desde $\psi$ es una tarjeta abierta y $\pi\in B_{X^{**}},$ debemos tener $\mathrm{Re}(\pi(\psi))<t.$ Nuevo usando ese $\psi$ es una tarjeta abierta, ya que $\pi\in C^{**}$ debemos tener $\mathrm{Re}(\pi(\psi))>t,$ una contradicción. $\Box$