¿Cómo se extiende una base?

Question

Recientemente publiqué una pregunta sobre esto; ahora que he adquirido nueva información, tengo algunas preguntas de seguimiento sobre la ampliación de una base (no estoy muy seguro de si este es realmente el nombre para ello, así que mis disculpas si no lo es.)

Digamos que tengo una familia ((1,1,1)) y quisiera agregar vectores de tal manera que la familia sea una base de $ \mathbb R$$ ^3$. Es bastante obvio que podría encontrar fácilmente un par de vectores que harían a la familia linealmente dependiente, pero estoy buscando un método en el que pueda depender.

He visto un par de formas de hacer esto, ninguna de las cuales entiendo completamente.

El primero es usar productos de punto. Llamemos a los vectores que quiero crear a, b $ \in $ $ \mathbb R$ . Quiero una a y una b de tal manera que una $ \cdot $ (1,1,1) = 0 y que b $ \cdot $ (1,1,1) = 0. Si he entendido bien las cosas, es porque si el producto de puntos de dos vectores es 0, entonces son ortogonales. Si a y b son ambos ortogonales a (1,1,1), entonces ((1,1,1), a, b) es linealmente independiente, y por lo tanto una base en $ \mathbb R$$ ^3$. ¿Es todo eso cierto?

Si es así, supongo que entiendo esta solución conceptualmente, pero no estoy seguro de cómo hacerlo de otra manera.

El segundo método que he encontrado es crear una matriz A a partir de mis vectores, crear una base del espacio nulo N(A), y luego ir desde allí. Honestamente, no entiendo mucho de nada aquí. Sé cómo crear una matriz a partir de mis 3 vectores (2 de los cuales son desconocidos). También entiendo que el espacio nulo de A es el conjunto de vectores de tal manera que, si se multiplica con A, el producto es el vector cero (si esto también es incorrecto, por favor corríjame.) También entiendo que si mi matriz se construye con vectores linealmente independientes, el espacio nulo es simplemente el vector cero. Sin embargo, no entiendo lo que significa crear una base del espacio nulo, y por lo tanto no sé cómo seguir adelante.

Lo último que me molesta es que no veo cómo estos dos métodos son más poderosos/útiles que probar que tener cualquier combinación lineal de los vectores igual a cero implica que los escalares que multiplican los vectores también son cero.

Cualquier ayuda es muy apreciada, gracias.

Answer 1

Un enfoque sencillo es tomar cualquier base $\{b_1, b_2, b_3\}$ para $\mathbb{R}^3$ y considerar el conjunto $\{(1,1,1), b_1, b_2, b_3\}$ .

Si $b_1$ es proporcional a $(1,1,1)$ Descartarlo. Si no, guárdelo.

Si $b_2$ es una combinación lineal de $\{(1,1,1), b_1\}$ entonces deséchalo. De lo contrario, guárdelo.

Si $b_3$ es una combinación lineal de $\{(1,1,1), b_1, b_2\}$ y luego deséchalo. De lo contrario, guárdelo.

Llegará a un conjunto de tres elementos que contiene $(1,1,1)$ que es una base para $\mathbb{R}^3$ . Esto se debe a que el conjunto resultante es linealmente independiente por construcción, y descartar los elementos linealmente dependientes en cada paso no reduce la extensión.

Para ilustrarlo, tomemos la base canónica y consideremos $\{(1,1,1), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$ .

Vemos que el único elemento que tenemos que descartar es $(0,0,1)$ por lo que la base resultante es $\{(1,1,1), (1,0,0), (0,1,0)\}$ .

Answer 2

"Encontrar un par de vectores" es muy fiable. Casi cualquier elección de vectores funcionará . Casi tienes que intentar activamente fallar con este método; el único obstáculo real es si restringes tus opciones a formas muy especiales, y algunas de esas formas resultan estar en el ámbito de los vectores anteriores.

Sin embargo, hay un camino muy sencillo que está garantizado. Una base para $\mathbb{R}^n$ es lo mismo que un $n \times n$ matriz cuyas filas son linealmente independientes; se pueden tomar las filas como base.

(Nota: aunque suele ser más natural tratar los vectores de $\mathbb{R}^n$ como columnas, cambiar a filas aquí no cambia realmente nada. Sólo lo hago porque hacer operaciones de fila como una matriz es un procedimiento más familiar que hacer operaciones de columna)

Hay una familia de matrices que son extremadamente fáciles de identificar por tener filas linealmente independientes: las que tienen forma de escalón.

$$\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ {}_{\text{These rows are clearly independent}}$$

Si te dan varios vectores como punto de partida que no se pueden rellenar inmediatamente en una matriz escalonada, es fácil de reparar: haz operaciones de fila para poner los vectores dados en forma escalonada, y luego rellena el resto de la matriz.

Answer 3

En $\mathbb{R}^3$ es fácil. El segundo vector independiente puede obtenerse, por ejemplo, sustituyendo la coordenada no nula por cero. A continuación se puede tomar el producto vectorial, que es incluso ortogonal a los dos primeros vectores.

Answer 4

En primer lugar, si $\mathbf a$ y $\mathbf b$ son ambos ortogonales a un determinado vector $\mathbf c$ no se deduce que $\{\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c\}$ es linealmente independiente. El par $\{\mathbf a,\mathbf b\}$ también debe ser linealmente independiente.

De todos modos, el segundo método que describes es exactamente cómo se puede hacer para encontrar un conjunto de vectores linealmente independientes y ortogonales a los dados: el espacio nulo de una matriz es el complemento ortogonal de su espacio de filas, así que si ensamblas los vectores dados en una matriz y encuentras una base para su espacio nulo, terminas con un conjunto de vectores linealmente independientes que, junto con el conjunto original, abarcan todo el espacio matriz. La forma más común de realizar este cálculo es reduciendo la matriz a la forma escalonada. Las operaciones de fila dejan el espacio de filas de una matriz sin cambios, para que las dos tengan el mismo espacio de filas, y por tanto también el mismo espacio nulo. Como describe Hurkyl en su respuesta Una vez que se tiene la matriz en forma escalonada, es mucho más fácil elegir vectores base adicionales. Una forma sistemática de hacerlo se describe aquí .

Para ver la conexión, amplíe la ecuación $\mathbf v\cdot\mathbf x = 0$ en términos de coordenadas: $$v_1x_1+v_2x_2+\cdots+v_nx_n=0.$$ Desde $\mathbf v$ es un vector fijo dado todos los $v_i$ son constantes, por lo que esta ecuación del producto punto es sólo una ecuación lineal homogénea en las coordenadas de $\mathbf x$ . Si tiene un conjunto fijo $\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_m\}$ se tiene el sistema de ecuaciones lineales homogéneas $$\begin{align} \mathbf v_1\cdot\mathbf x &=0 \\ \mathbf v_2\cdot\mathbf x &=0 \\ \vdots \\ \mathbf v_m\cdot\mathbf x &=0 \end{align}$$ que puede escribirse en forma de matriz como $$\begin{bmatrix}\mathbf v_1^T\\\mathbf v_2^T\\\vdots\\\mathbf v_m^T\end{bmatrix}\mathbf x = 0.$$ El conjunto de soluciones es, como ya sabes, precisamente el espacio nulo de la matriz de coeficientes de la izquierda.

Como nota final, aunque puede ser conveniente hacerlo, no es necesario utilizar vectores en el complemento ortogonal de un subespacio para extender su base. Cualquier conjunto de vectores linealmente independientes que no se encuentren en el subespacio servirá. A menudo, en los ejercicios inventados, examinando dónde los vectores dados tienen coordenadas cero, se pueden adivinar algunos vectores de base estándar o combinaciones simples de ellos que podrían funcionar.