Matriz de invertiblity y su Inversa

Question

Me gustaría demostrar que la Matriz de $L:={ M }^{ T }M$ es invertible y determinar su inversa (en dependencia de la $A$$B$).

$M:=\begin{pmatrix}A & B \\ 0_{q\times p}& I_q\end{pmatrix}$ $A\in K^{p\times p},B\in K^{p\times q}$ . Además de que la matriz de $A$ rango $p$.

Traté de forma $L=\begin{pmatrix}{ A }^T A& A^T B\\ B^T A &{ B^T B+I }_{ q }\end{pmatrix}$ en la Unidad Blockmatrix mediante operaciones elementales con sus filas. Desde Una tiene un rango completo debe ser invertible y porque Una es $p\times p$ matriz, su transpuesta debe ser invertible, también, con este conocimiento de su relativamente fácil de ${ a }_{ 21 }=0$ y yo estoy atrapado en la obtención ${ a }_{ 12 }=0$ ya que yo no sé nada acerca de la invertibility de $B$. ¿Hay otras maneras de resolver este problema?

Answer 1

Podemos calcular la inversa de a $M$ con "fila de operaciones" de la siguiente manera: $$ \left[\begin{array}{cc|cc} A&B&I&0\\0&I&0&I \end{array}\right] \a \\ \left[\begin{array}{cc|cc} I&A^{-1}B&A^{-1}&0\\0&I&0&I \end{array}\right] \a\\ \left[\begin{array}{cc|cc} I&0&A^{-1}&-A^{-1}B\\0&I&0&I \end{array}\right] $$ Así que $$M^{-1} = \pmatrix{A^{-1} & -A^{-1}B\\0&I}$$ Desde allí, se puede calcular $$ (M^TM)^{-1} = M^{-1}(M^T)^{-1} = M^{-1}(M^{-1})^T =\\ \pmatrix{A^{-1} & -A^{-1}B\\0&I} \pmatrix{A^{-1} & -A^{-1}B\\0&I}^T =\\ \pmatrix{A^{-1} & -A^{-1}B\\0&I} \pmatrix{(A^{-1})^T & 0\\-B^T(A^{-1})^T&I}^T = \\ \pmatrix{A^{-1}(A^{-1})^T + A^{-1}BB^T(A^{-1})^T & -A^{-1}B\\ -B^T(A^{-1})^T & I} = \\ \pmatrix{(A^TA)^{-1} + (A^{-1}B)(A^{-1}B)^T & -A^{-1}B\\ -(A^{-1}B)^T & I} $$

Answer 2

Calcular la inversa de a $ L $ dado el inverso de a $ M $ es fácil: $ L^{-1} = ( M^T M)^{-1} = M^{-1} M^{-T} $.

Entonces, la pregunta realmente es ¿cómo encontrar la inversa de a $ M $.

Pero a la inversa de este particiones triangular de la matriz está dada por $$ \left( \begin{array}{c | c} A & B \\ \hline 0 & I \end{array} \right)^{-1} = \left( \begin{array}{c | c} A^{-1} & -A^{-1} B \\ \hline 0 & I \end{array} \right) $$ (multiplica).

Así, ahora se puede poner las piezas juntas.