¿Por qué se estudia la extensión algebraica?

Question

Ayer aprendí el teorema de Kronecker y una extensión finita. Y ahora estoy estudiando el siguiente capítulo, Extensión algebraica.

Creo que el siguiente teorema muestra la importancia de la extensión algebraica

Dejemos que $E$ sea un campo de extensión de un campo $F$ . Sea $$ be an element of $ E $. If $$ es algebraico sobre $F$ existe un único polinomio irreducible mónico $p(x)$ en $F[x]$ tal que $p()=0$ en $E$ .

Pero me pregunto si hay otra razón importante para estudiar las extensiones algebraicas.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Creo que la motivación original para estudiar las extensiones de campo era, como en el teorema que has expuesto, resolver polinomios. Uno de los grandes resultados después de unas cuantas clases de extensiones de campos algebraicos es que todo campo puede ser embebido en un único campo algebraicamente cerrado, llamado cierre algebraico.

En realidad, la resolución de ecuaciones es la motivación de todas las expansiones históricas del concepto "número". Piénsalo así: tenemos los números naturales, $1,2,3,\ldots$ y podemos resolver ecuaciones como $x+2 = 4$ . Pero entonces podemos plantear ecuaciones como $x+ 2 = 2$ y $x+4 = 2$ Por lo tanto, queremos ampliar nuestro sistema numérico para incluir las soluciones a éstas, por lo que añadimos el cero y los enteros negativos.

Entonces observamos que podemos plantear ecuaciones como $2x = 4$ que tiene una buena solución $x=2$ y también $4x = 2$ que no tiene solución en los enteros. Así que, de nuevo, ampliamos nuestro sistema numérico para incluir cosas como $\frac 12$ . Ahora podemos resolver cualquier ecuación lineal $ax+b = 0$ donde $a,b \in \mathbb{N}$ .

También tenemos ecuaciones como $x^2 - 2 = 0$ y así empezamos a sumar números irracionales como $\sqrt{2}$ . Podemos completar los números racionales para formar el campo de los números reales $\mathbb{R}$ . Pero aún así, tenemos ecuaciones que no podemos resolver, como $x^2 + 1 = 0$ . Para obtener una solución de esto, añadimos el número $i = \sqrt{-1}$ y obtener los números complejos. Pasando de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{C}$ de esta manera es una extensión de campo algebraico.

Como dice el teorema que has expuesto, este procedimiento es mucho más general que $\mathbb{R}$ a $\mathbb{C}$ dice que dado cualquier campo abstracto $F$ y cualquier ecuación polinómica con coeficientes de ese campo, podemos ampliar el "sistema numérico" que es $F$ para incluir una solución.

EDIT: Como se ha señalado en un comentario, el cierre algebraico de un campo sólo es único hasta un isomorfismo no canónico.

Answer 2

Es importante en la teoría algebraica de los números. Sin entrar en demasiados detalles, muchos resultados sobre el anillo $\mathbb{Z}$ de los números enteros son más fáciles de obtener y entender cuando generalizamos la noción de un número entero. Esto se hace sustituyendo el campo $\mathbb{Q}$ de números racionales con un campo $K$ de la forma $\mathbb{Q}(a)$ , donde $a$ es un número complejo que es algebraico sobre $\mathbb{Q}$ .

Para el campo $\mathbb Q$ de los números racionales, el anillo de los enteros es por supuesto $\mathbb{Z}$ .

Para el campo $\mathbb{Q}(i) = \{ a + bi : a, b \in \mathbb{Q}\}$ el anillo de los enteros es $\mathbb{Z}[i] = \{a + bi : a, b \in \mathbb{Z} \}$ . También se denomina anillo de Enteros gaussianos .

De manera más general, cada campo $K$ que contiene $\mathbb{Q}$ de la forma $\mathbb{Q}(a)$ como el anterior, tiene su propio "anillo de enteros".

He aquí un teorema clásico sobre los números primos:

Teorema : Dejemos que $p \geq 3$ sea un número primo. Existen números enteros $x, y \in \mathbb{Z}$ tal que $p = x^2 + y^2$ si y sólo si $p - 1$ es divisible por $4$ .

Este teorema se conocía antes de que se trabajara con el anillo $\mathbb{Z}[i]$ pero es mucho más fácil de demostrar utilizando el anillo $\mathbb{Z}[i]$ . Básicamente, se define la noción de un elemento de $\mathbb{Z}[i]$ siendo primordial. Entonces la cuestión es mostrar qué números primos en $\mathbb{Z}$ siguen siendo primos cuando se consideran elementos de $\mathbb{Z}[i]$ .

Answer 3

Para añadir a la respuesta de Joshua Ruiter.

Se puede enseñar a un ordenador a calcular con extensiones de campo "exactamente". Si ve el $\sqrt{2}$ como un decimal infinito, su ordenador sólo puede calcular aproximaciones (en tiempo finito). Pero si se le enseña al ordenador que es un par $(0,1)$ con algunas propiedades algebraicas, será capaz de devolver respuestas exactas a sus cálculos que impliquen $\sqrt{2}$ .