Prueba no numérica de $e<\pi$

Question

Se trata de un problema de tipo "café" (para tener una idea de este estilo, puede hojear el libro https://www.amazon.com/Art-Mathematics-Coffee-Time-Memphis/dp/0521693950 ) interpretado a partir de un problema anónimo una vez en la pizarra interactiva de mi departamento, a saber, cómo demostrar $e<\pi$ sin mucho cálculo numérico como la expansión de Taylor o así. Una vez intenté utilizar alguna "conexión intrínseca" entre $e$ y $\pi$ como $\sqrt{\pi}=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}x$ ( incluso se puede encontrar en esta película http://www.imdb.com/title/tt4481414/ para las pruebas de los niños) y una posible forma de reducir el problema se encuentra en el siguiente párrafo. Sin embargo, parece que no es tan fácil, ¿alguna sugerencia o nuevas ideas?

Una versión más fuerte de esta pregunta es: ¿podemos construir una función explícita $f(x)$ en $\mathbb{R}$ para que $f(x)\leq e^{-x^2}$ para todos $x\in\mathbb{R}$ con $f(x)< e^{-x^2}$ en un intervalo abierto, y que $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x=\sqrt{e}$ ? Sabemos por la teoría de la medida estándar que hay $\beth_2$ este tipo de funciones Lebesgue-integrables, pero esta es la cuestión: ¿cómo de simple y explícito puede ser lo que buscamos? Algunos ejemplos de funciones muy simples y explícitas son, entre otros, las funciones elementales a trozos ( https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_function ). Por desgracia, una función $f(x)$ definida a trozos por $$f(x)|_{(-1,1)}=e^{-|x|^r}\ \text{where}\ r\in\mathbb{Q}\cap(-\infty,2)\ \text{or}\ \mathbb{Q}\cap (-\infty,2]\ \text{respectively}$$ y $$f(x)|_{(-\infty,-1]\cup[1,\infty)}=e^{-|x|^s}\ \text{where}\ s\in\mathbb{Q}\cap [2,\infty)\ \text{or}\ \mathbb{Q}\cap(2,\infty)$$ NO satisfaría $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x=\sqrt{e}$ si los valores de la función Gamma en puntos racionales son linealmente (o incluso algebraicamente) independientes con $\sqrt{e}$ ( https://en.wikipedia.org/wiki/Particular_values_of_the_gamma_function ). La cuestión es entonces cómo pasar de este primer fracaso a la búsqueda de otras funciones explícitas.

Soy consciente de que probablemente sea difícil plantear una pregunta tan sólida como "¿podemos demostrar que la CH es independiente de la ZFC?"; después de todo, se puede argumentar que cualquier desigualdad numérica proviene también esencialmente de alguna desigualdad intrínseca y, por tanto, no es numérica en absoluto. Sin embargo, se podría intentar preguntar de una manera relativamente descuidada: ¿hay algo que sea al menos aparentemente más simple o menos numérico, si no completamente no numérico?

Answer 1

Si definimos $e$ como $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n$ entonces $e<3$ porque, para cada $n\in\mathbb{N}$ , \begin {align} \left (1+ \frac1n\right )^n& \leqslant1 +1+ \frac1 {2!}+ \cdots + \frac1 {n!} \\ &<1+1+ \frac12 + \frac1 {2^2}+ \cdots + \frac1 {2^{n-1}} \\ &<3. \end Por otro lado, $2\pi$ es mayor que el perímetro de un hexágono regular inscrito en un círculo de radio $1$ que es $6$ . Por lo tanto, $\pi>3>e$ .

Answer 2

Sólo una sugerencia.

$$\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos x}{x^2+1}\operatorname d\!x=\frac\pi e$$

Si puedes demostrar que la integral anterior es $>1$ ya sabes $\pi > e$ .

Answer 3

¡Anda de sobrecarga! La función de error tiene una representación en serie simple y una representación continua de fracciones permitiendo producir buenas aproximaciones algebraicas para el Relación de molienda .
Esta respuesta de la mía en MO demuestra la desigualdad $$ \sqrt{\frac{\pi}{2}}\,e^{k^2/2}\, \text{Erfc}\left(\tfrac{k}{\sqrt{2}}\right) \geq \frac{2}{k+\sqrt{k^2+4}} \tag{1}$$ utilizando únicamente el teorema de Fubini y la desigualdad elemental (de convexidad) $\frac{2}{\pi}x<\sin(x)<x$ para $x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ . Al considerar $(1)$ en $k=1$ tenemos $$ \sqrt{e}\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}-\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{2^n(2n+1)n!}\right)\geq \frac{1}{\varphi} \tag{2}$$ en relación con $e,\pi$ y la proporción áurea $\varphi$ (y permitiendo probar $\pi>e$ por supuesto). Esto es más o menos en el espíritu de la relación "natural" entre $\pi$ y $e$ dado por $\pi=\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)^2$ y $\Gamma(s)=\int_{0}^{+\infty}x^{s-1} e^{-x}\,dx.$

Answer 4

No hay muchos cálculos aquí, sólo algo de aritmética simple y límites superiores fáciles (además de una identidad importante):

$$\begin{align} e^2&=1+2+{2^2\over2}+{2^3\over6}+{2^4\over24}+{2^5\over120}+\cdots\\ &=1+2+2+{4\over3}+{2\over3}+{32\over120}\left(1+{2\over6}+{4\over42}+\cdots \right)\\ &\lt7+{1\over2}\left(1+{1\over2}+{1\over4}+\cdots\right)\\ &=8\\ &\lt6+{3\over2}+{2\over3}\\ &\lt6+{6\over4}+{6\over9}+{6\over16}+{6\over25}+\cdots\\ &=6\sum_{n=1}^\infty{1\over n^2}\\ &=\pi^2 \end{align}$$

Añadido más tarde: Aquí hay una alternativa, que utiliza la desigualdad geométrica "fácil" $\pi\gt3$ (comparando la circunferencia de un círculo con el perímetro de un hexágono inscrito, como en la respuesta de José Carlos Santos) y una pequeña cantidad de cálculos:

$$\ln\pi\gt\ln3=-\ln(1/3)=-\int_1^{1/3}{dx\over x}=\int_0^{2/3}{du\over1-u}=\int_0^{2/3}\left(1+u+u^2+\cdots\right)du\\ =\left(2\over3\right)+{1\over2}\left(2\over3\right)^2+{1\over3}\left(2\over3\right)^3+{1\over4}\left(2\over3\right)^4+\cdots\\ \gt{2\over3}+{2\over9}+{8\over81}+{4\over81}={54+18+12\over81}={84\over81}\gt1=\ln e$$

Answer 5

Esta es mi contribución: Tenemos que demostrar que $\ln \pi >1$ . Así que tenemos que demostrar que $\int_1^\pi \frac{1}{x} \; dx >1.$ El gráfico de $y=\frac{1}{x}$ es cóncava hacia arriba, por lo que cualquier línea tangente se encuentra por debajo de la curva. Encuentra la recta tangente a la mitad del intervalo:

$$y = \frac{4}{(\pi+1)^2}(\pi +1 -x).$$

El área bajo esa línea y entre $x=1$ y $x=\pi$ es menor que el área representada por la integral. Así que tenemos que demostrar que el área de este trapecio es mayor que $1$ . Después de un poco de álgebra esa área resulta ser

$$2\left(\frac{\pi-1}{\pi+1}\right).$$

Así que tenemos que demostrar que esta expresión es mayor que $1$ . Finalmente tengo que rebajarme a lo "numérico" y utilizar el hecho de que $\pi$ es mayor que $3$ . O bien, tenga en cuenta que $(x-1)/(x+1)$ es una función creciente y, por tanto, la última expresión es mayor que $2(3-1)(3+1) = 1.$ O calcular de la siguiente manera:

$$2\left(\frac{\pi-1}{\pi+1}\right) = 2 - \frac{4}{\pi+1} > 2-\frac{4}{4} = 1.$$