Es la asignación que tiene una métrica a la inducida por la métrica intrínseca de un cierre de operador?

Question

Para abreviar la expresión, "se sostiene que," voy a escribir "iht."

En primer lugar una definición. Dado un conjunto parcialmente ordenado $(P,\geq)$, un cierre de operador en $P$ es un mapeo $\mathrm{cl} : P \rightarrow P$ tal que

1. (Idempotente) Para todos los $d$ iht $\mathrm{cl}(\mathrm{cl}\,d) = \mathrm{cl} \,d.$
2. (Inflacionario) Para todos los $d$ iht $\mathrm{cl} \, d \geq d$
3. (No decreciente) Para todos los $d,d'$ iht si $d \geq d'$, $\mathrm{cl} \, d \geq \mathrm{cl} \, d'.$

Bueno, hacia arriba y adelante. Fijar un conjunto $X$, y deje $P$ denota el conjunto de todas las métricas $d$$X$. Vamos a permitir que las métricas para tomar los valores en $[0,\infty]$. Así, en particular, el infinito es válido distancia. Ahora parcialmente la orden de $P$ definiendo que para todos los $d,d' \in P$ iht $d \geq d'$ fib para todos los $x,y \in X$ iht $d(x,y) \geq d'(x,y)$. Por último, vamos a $\mathrm{cl} : P \rightarrow P$ denotar la asignación que tiene una métrica a la inducida por la métrica intrínseca. Es $\mathrm{cl}$ a cierre de operador?

Si es así, yo creo que esto significa que la ruta de métrica espacios (es decir, la métrica de los espacios que están de acuerdo con sus inducida por la intrínseca métrica) forma una completa red. La pregunta entonces es: ¿distributiva leyes en este entramado?

Answer 1

La respuesta por t.b. señaló jim supone el espacio rectifiably conectado, porque métrica espacios no fueron entendidas en la forma habitual, con un límite de métrica. Si la finitud no es necesario, ni se rectifiably conectado. El operador $\mathrm{cl}$ es de hecho idempotente.

No entiendo la parte de celosía. Tenemos la operación de combinación en la ruta de las métricas, es decir,$\operatorname{cl}\max(d,d')$. Pero, ¿qué es el conocer?