Supongamos $f(x)$ es no negativo convexa de la función en $[0,1]$, probar una desigualdad.

Question

Supongamos $f(x)$ es no negativo convexa de la función en $[0,1]$. Probar:

$$\displaystyle \int_0^1f^2(x)\,\mathrm dx\leqslant\frac43\left(\int_0^1f(x)\,\mathrm dx\right)^2$$

He intentado Cauchy Mean Value Theorem: Construcción $\displaystyle F(x)=\frac{\displaystyle \int_0^1 f^2(x)\,\mathrm dx}{\displaystyle \left(\int_0^1f(x)\,\mathrm dx\right)^2}$... Pero no funciona :-(
Cualquier consejo se agradece!

Answer 1

Deje $f(x)=x^2$. Entonces $$ \int_0^1 f^2(x)\,dx=\int_0^1^4\,dx=0.2, $$ mientras $$ \frac43\,\left(\int_0^1 f(x)\,dx\right)^2=\frac43\,\left(\int_0^1^2\,dx\right)^2=\frac4{27}=0.\overline{148}. $$