Límite $\lim_{x \to 0} \frac{\sin[x]}{[x]}$

Question

Estoy tratando de encontrar el límite de $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin[x]}{[x]}$$ donde [.] representa la función de mayor número entero. Traté de tomar un número infinitesimalmente pequeño $h$ y se ocupó del límite de la mano derecha y del límite de la mano izquierda

$$\lim_{x \to 0^+}\frac{\sin[x]}{[x]}$$ $$\Rightarrow \lim_{h \to 0} \frac{\sin[h]}{[h]}$$

Estoy atrapado aquí, aunque sé que $$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$ Pero aquí veo que desde $h$ es un número positivo muy pequeño $[h]$ se convierte en cero y obtenemos
$$\Rightarrow \frac{\sin 0}{0}.$$ ¿Esto demuestra que el RHL no existe o tengo algún fallo?

Answer 1

Para $-1 \le x<0$ , usted tiene $[x]=-1$ Así pues, para $x$ en ese intervalo: $$\frac{\sin[x]}{[x]}=\frac{\sin(-1)}{-1}=\sin 1$$ Lo que hace que el límite de la izquierda $\sin 1$ .

Para $0 \le x<1$ , usted tiene $[x]=0$ así que $\tfrac{\sin x}{x}$ no está definida en los barrios de la derecha de $x=0$ .

Answer 2

El dominio de la función excluye $[0,1)$ para que

$$\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0^-}f(x)=-\sin(-1).$$