Demostrar que no hay números enteros $x$ y $y$ tal que $3x^2=13+4y^2$

Question

Demostrar que no hay números enteros $x$ y $y$ tal que $3x^2=13+4y^2$ .

A partir de la ecuación, sé que $3x^2$ debe ser impar y por lo tanto igual $2k + 1$ para algún número entero $k$ .

Pero no sé qué hacer después.

También he calculado que $k = 2(y^2 + 3)$ pero no sé si eso ayuda en algo.

Mi instructor señaló que debería mirar si $x^2$ es par o impar, pero estoy perdido.

Answer 1

$3x^2=\underbrace{13+4y^2}_\text{odd}$

Sabemos que x es la pose de impar lets $x=2k+1$

\begin{align}3(2k+1)^2=13+4y^2\\ 3(4k^2+4k+1)=13+4y^2\\ 3(4k^2+4k)=10+4y^2\\ 12(k^2+k)=10+4y^2\\ \underbrace{6(k^2+k)}_\text{even}=\underbrace{5+2y^2}_\text{odd} \end{align}

pero $5+2y^2$ es impar no par que contradice el factor 6 en el lado izquierdo de la ecuación

Answer 2

Puedes mirar el mod4.

Su ecuación equivale a

$1=3x^{2} \pmod 4$ .

$3=x^{2}\pmod 4$ .

Pero 3 no es un cuadrado mod 4.

Answer 3

El cuadrado de un número entero es siempre de la forma $4k$ o $4k+1$ .

$$\text{RHS} =4(y^2+3)+1=4n+1$$

Mientras que, por otro lado (¡la izquierda! :P)

$$\text{LHS}=3(4m) ~\text{or} ~3(4m+1) \equiv 4l ~ \text{or} ~4l+3$$

Tanto el LHS como el RHS dejan diferentes restos al dividir con $4$ Por lo tanto, nunca pueden ser iguales.

Answer 4

Ignora $4y^2$ por un minuto.

La ecuación $3x^2 = 13$ tampoco tiene soluciones en números enteros. Si tuviera una solución, entonces $x$ tendría que ser impar, obviamente. Entonces $3x^2 \equiv 3 \bmod 4$ pero $13 \equiv 1 \bmod 4$ .

Desde $4y^2 \equiv 0 \bmod 4$ la ecuación $3x^2 = 4y^2 + 13$ también es irremediablemente insoluble (¿es esa la palabra correcta? ya sabes lo que quiero decir) en números enteros.

Answer 5

Bueno, ya sabes que $x$ debe ser impar. Vamos a perseguir nuestra cola.

Así que dejemos $x = 2k+1$ y

$12k^2 + 12k + 3 = 13 + 4y^2$

$12k^2 + 12k = 10 + 4y^2$ .

$6k^2 + 6k = 5 + 2y^2$ que no es posible.