Uno de los problemas de clasificación de objetos de sin restricciones de tamaño y complejidad se establece teórica, y estarán relacionados con tales fuerte conjunto de axiomas teóricos relacionados con accesible cardenales, medibles cardenales, y Vopenka del principio, y puede depender de la hipótesis continua y (sin duda) por el axioma de elección. Aunque no soy un experto en estos temas, voy a tratar de dar una vista rápida de las dificultades.
Para abelian grupos, usted puede construir muy bestias salvajes usando el Lema de Zorn. La estrategia general será la primera construcción de algunas de las grandes abelian grupo de (decir el producto o subproducto de abelian grupos indexados por un conjunto de enorme cardinalidad) y, a continuación, aplicar el Lema de Zorn para obtener una máxima subgrupo. Dichos subgrupos por lo general no puede ser descrito directamente y de modo que sería muy difícil de estudiar o de clasificar.
Otras formas de construcción de objetos muy grandes es tomando ultraproducts de abelian grupos. Aquí la construcción se basa en una elección de un director de ultrafilter, una altamente no-constructiva del objeto. Estos objetos son algo más manejable, pero todavía la inmensa libertad en la elección de la cardinalidad del conjunto de indexación, el ultrafilter, y los componentes de los grupos hace que este muy duro.
Un poco más de forma sistemática, ya que cualquier grupo abelian es un cociente de un libre abelian grupo, la clasificación completa requiere la clasificación de los subgrupos de libre abelian grupos. Si no hay restricción de tamaño se coloca en el número de generadores de la libre abelian grupos de nuevo teórica sutilezas de inmediato se manifiestan. Por ejemplo, tomar un libre abelian grupo en un conjunto de enorme cardinalidad, la clasificación de la máxima subgrupos en que va a ser muy difícil.
