Prueba elemental del teorema de Köthe

Question

Deje $K$ ser un campo, $X$ indeterminado, $n$ un entero positivo y $A$ el anillo de $K[X]/(X^n)$.

Un teorema de Köthe en

Köthe G., Verallgemeinerte Abelsche Gruppen mit hyperkomplexem Operatorenring. De matemáticas. Z. 39, 31 a 44 (1935)

implica que

(1) $A$- módulo es una suma directa de cíclico de los módulos.

En esta respuesta, Pierre-Chico Plamondon da una primaria de la prueba de la siguiente corolario (1):

(2) cualquier indecomposable $A$-módulo es cíclico.

Esto provoca la pregunta:

Hay una escuela primaria de la prueba de (1)?

EDIT. Yo creo que se puede escribir de una escuela primaria de la prueba a lo largo de las siguientes líneas. (Advertencia: lo que está abajo es un dibujo con muchas lagunas. Creo que las lagunas puede ser fácil de llenar, pero puedo estar equivocado. Espero que alguien va a publicar una respuesta que, o bien llenar los vacíos o un mejor uso de la idea.)

Podemos demostrar que el $A$-módulo es una suma directa de cíclico submódulos por inducción en $n\ge1$. El caso de $n=1$, siendo claro, suponemos que $n\ge2$ y que la declaración tiene por $n-1$.

Deje $V$ $K$- espacio vectorial y $x$ un endomorfismo tal que $x^n=0$. Consideramos que $V$ $A$- módulo de una manera obvia. Deje $U$ $K$- lineal subespacio de $V$ tal que $V=U\oplus\operatorname{Ker}x^{n-1}$.

(a) Demostrar que el natural mapa de $A\otimes_KU\to V$ es inyectiva y denotar su imagen por $AU$. (En particular, $AU$ es un servicio gratuito de $A$-módulo de rango $\dim x^{n-1}V$.)

(b) la Imitación de Pierre-Tipo del argumento, muestran que existe un sub-$A$-módulo de $W$ $V$ tal que $V=AU\oplus W$.

(c) Demostrar $x^{n-1}W=0$.

(d) la Conclusión usando la hipótesis de inducción.

Permítanme insistir en el hecho de que el punto es no para convencernos de que la afirmación es verdadera. Nosotros sabemos que es verdad! El punto es más bien para encontrar una prueba de que sería tan elemental y tan completa como sea posible.

Answer 1

SUGERENCIA: La prueba de la existencia de Jordan en la forma de nilpotent de los operadores sobre finito dimensional espacio vectorial funciona también para ifinite espacios dimensionales. Deje $T$ lineal en el espacio vectorial $V$ tal que $T^n=0$. Considere la posibilidad de la bandera de subespacios: $$ \operatorname{Ker T}\cap \operatorname{Im} T^{n-1}\subset \operatorname{Ker T}\cap \operatorname{Im} T^{n-2} \subset\ldots \operatorname{Ker T} \cap \operatorname{Im} T \subset \operatorname{Ker T}$$

Tomar una base de $\operatorname{Ker T}$ adaptado a este indicador $$ B_{n-1} \cup B_{n-2}\cup \ldots \cup B_0$$

Levante cada una de las $B_{n-k}$ $n-k$ veces en $T$ para obtener $B_{ij}$, $n-1\ge i\ge j \ge 0$, y $T(B_{i,j+1})= B_{ij}$, $B_{i0} = B_i$. Demostrar que la unión de la $B_{ij}$ es una base de $V$. ( en este punto es útil mirar un Joven diagrama con células llenas de la $B_{ij}$ -- el Joven diagrama de tipo de $(1,2,\ldots, n)$). Una vez que hayamos hecho eso, podemos ver que el espacio de $V$ es una suma directa de indécomposable cíclico $T$ módulos. Os dejo los detalles para ser rellenado, uno debe trabajar primero con decir $n=2$,$n=3$, y entonces se convierte en transparente.