$U(1){\times}U(1)$ local invariancia gauge derivados

Question

En QED básico y el mecanismo de Higgs, hay un local medidor de transformación, donde un escalar campo $\phi$ es transformado:

$e^{i\theta\eta(x)} \phi$

La derivada parcial de esto, sin embargo, hace que el de arriba no invariantes, y entonces la derivada covariante es introducido de esta manera:

$D_\mu e^{i\theta\eta(x)} \phi$=$(\partial_\mu- i \theta A_\mu)$$e^{i\theta\eta(x)} \phi$

Así, la derivada permanece invariable. Sin embargo, ¿qué pasa si el campo escalar es transformada por DOS U(1) simetrías como este:

$e^{i\lambda_1\eta_1(x)} e^{i\lambda_2\eta_2(x)} \phi$

Esto puede ser una extraña simetría transformación, pero me pregunto ¿cómo se podía hacer la derivada de esta invariante como este:

$e^{i\lambda_1\eta_1(x)} e^{i\lambda_2\eta_2(x)} D_\mu \phi$

Para la derivada es ahora de tres funciones distintas que se diferencian por el producto de la regla como esta:

$f'(x)g(x)h(x)$+$g'(x)f(x)h(x)$+$h'(x)f(x)g(x)$

Por lo tanto, la derivada de la función sería:

$i \lambda_1 \eta_1' (x)e^{i\lambda_1\eta_1(x)} e^{i\lambda_2\eta_2(x)} \phi$ +$i \lambda_2 \eta_2' (x)e^{i\lambda_2\eta_2(x)} e^{i\lambda_1\eta_1(x)} \phi$+$(\partial_\mu \phi) e^{i\lambda_1\eta_1(x)} e^{i\lambda_2\eta_2(x)}$

Entonces, ¿cómo el local de la invariancia gauge derivados aplicarse en esta situación? Sería otro medidor de campo se presentó como $B_\mu$ a lo largo de con $A_\mu$ ?

Answer 1

Sí, usted tendría que introducir otro medidor de campo. Por ejemplo, en el Modelo Estándar no es de calibre invariancia bajo $SU(3)\times SU(2) \times U(1)$, y por lo tanto hay tres medidor de campos: los gluones, el $W^\pm, Z$ indicador débil bosones y los fotones.

En términos generales, es más sencillo para argumentar de esta manera: si usted tiene medidor de invariancia bajo una Mentira grupo $G$, la derivada covariante incluirá una 1-forma de tomar valores en la Mentira de álgebra $\mathfrak g$$G$. Desde la Mentira de álgebra de $G \times H$$\mathfrak g \oplus \mathfrak h$, 1-formulario de toma valores en esta Mentira de álgebra se puede descomponer en una 1-forma de tomar valores en $\mathfrak g$ y una 1-forma de tomar valores en $\mathfrak h$. En el caso de que esto iba a ser su $A_\mu$$B_\mu$.