Deje $G$ ser un número finito de grupo con el fin de $n$, es decir, $|G|=n$. Demostrar que existe un número primo $p\geq n$ y un finita de Galois de la extensión de $L/K$$Gal(L/K)\approx G$$[K:\mathbb{Q}]=p!/n$.
Honestamente, no tengo idea!
Respuesta
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Considere la posibilidad de $G$ como un subgrupo de $S_n$, el grupo simétrico (ha $G$ acto en sí mismo por la izquierda de la multiplicación - $n$ es el orden de $G$). El grupo $S_n$ se encuentra dentro de $S_p$, para cualquier prime $p$ mayor que o igual a $n$. Ahora, a la inversa Galois problema por $\mathbb Q$ es resuelto por el grupo simétrico ( de acuerdo a https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problempor Hilbert - pero véase a continuación). De modo que existe una extensión de Galois $L/ \mathbb Q$ grupo $S_p$. Deje $K= L^G$, el campo fijo de $G$. A continuación,$p! = [L:{\mathbb Q}] = [L:K] \ [ K:{\mathbb Q}] = n\ [ K:{\mathbb Q}]$. Por lo tanto $$G = \mathop{\rm Gal} (L/K )$$ y $$[K:{\mathbb Q}] = p! /n. $$
- Para una solución a la inversa Galois problema por $\mathbb Q$ $S_p$ $p$ primer $\ge 5$ (cortesía de Brauer), véase el apartado 4.10 de Álgebra Básica I (seguramente uno de los más desalentador de texto de los títulos de los libros de la historia) de Jacobson, Segunda Edición. La sección también se refiere a un ejercicio 5, en la página 305, que sigue un argumento diferente debido a Tate para resolver la inversa Galois problema para$S_n$$\mathbb Q$.
