La línea $y = \sqrt2x$ + $\sqrt3$

Question

¿La línea $y = \sqrt2x + \sqrt3$ contienen un punto $(x,y)$ tal que $x$ es racional y $y$ ¿es racional?

Miré la línea $y = \sqrt2x$ y demostró que sólo tiene un punto de este tipo $(0,0)$ . También demostré que $y = \sqrt2x + \sqrt2$ tiene sólo un punto de este tipo. En ambas pruebas he asumido $x$ y $y$ eran racionales y llegué a una contradicción enseguida.

¿Existe una manera fácil de mostrar un resultado similar para la línea dada?

Answer 1

Sí, podemos utilizar el mismo estilo de prueba fácil para demostrar que la línea no contiene tal punto. Supongamos, en cambio, que dicho punto $(x, y) \in \mathbb Q^2$ existe. Tenga en cuenta que $x \neq 0$ ya que en caso contrario tenemos $y = \sqrt 3 \notin \mathbb Q$ . Entonces observa que: $$ y^2 = 2x^2 + 2\sqrt 6 x + 3 \iff \sqrt 6 = \frac{y^2 - 2x^2 - 3}{2x} \in \mathbb Q $$ una contradicción. Así que no hay tal $(x, y) \in \mathbb Q^2$ existe, como se desea. $~~\blacksquare$

Answer 2

Si $y = \sqrt{n}x + \sqrt{m}$ donde $m$ es un número entero no cuadrado y $x$ y $y$ son racionales, al multiplicar, podemos hacer $x$ y $y$ enteros.

Entonces $y - \sqrt{m}= \sqrt{n}x $ . Cuadrar, $y^2-2y\sqrt{m}+m = nx^2$ , o $\sqrt{m} = \frac{nx^2-y^2-n}{2y}$ , por lo que $\sqrt{m}$ es racional.

Pero $\sqrt{m}$ no es racional.

Esto es una contradicción.