Por qué no funciones continuas definidas como funciones de Darboux?

Question

Cuando estábamos en la escuela primaria, los maestros nos mostró gráficos de "continuo" funciones y dijo algo como

"Funciones continuas son aquellas que usted puede dibujar sin levantar el lápiz"

Con esto en mente, me recuerda a pensar (algo a lo largo de las líneas de)

"Oh, eso debe significar que si la función toma dos valores de $f(y)<f(z)$ para cada $c$ $f(y), f(z)$ debe haber alguna $x\, (y<x<z)$ tal que $f(x)=c$"

Y eso es lo que yo pensaba que una función continua fue. Pero entonces el $\epsilon$-$\delta$ definición apareció, que puso una condición más restrictiva en lo que es una función continua fue.

Por lo tanto, mi pregunta es, dado el hecho de que Darboux funciones "parecen continuos" (en algún sentido subjetivo, supongo), ¿por qué no este utilizado como la definición de continuidad? De manera más general, ¿cómo de hoy (analítico) la definición de continuidad aparecer?

Answer 1

En realidad no se puede sacar muchas Darboux funciones, sin levantar el lápiz del papel. El ejemplo extremo es el de Conway de la base 13 de la función, que toma cada valor en cada intervalo y, por tanto, es una función de Darboux. Usted no puede, sin embargo comienzan a imaginar lo que esta función se parece, mucho menos dibujar con un lápiz.

Si lo desea, puede requerir la función a ser limitada. Sin embargo esto falla, ya que se puede obtener funciones como,

$$ f(x) = \begin{cases} \sin (1/x), & \text{if } x \neq 0 \\ 0 & \text{if } x = 0 \end{casos} $$

Cual, de nuevo, usted no puede dibujar. Así que una idea puede ser exigir a las funciones de $f:[a,b] \rightarrow \Bbb R$ de variación acotada, lo que significa que,

$$ \sup\left\{\sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})| \;\middle|\; a=x_0<x_1<\dots<x_n \right\} < \infty $$

Intuitivamente, este 'medidas' el gráfico de la línea de $\{(x,f(x)) \mid x \in [a,b] \}$ y requiere ser finito. Luego nos intuitivamente debe obtener un número finito de la longitud de la curva que nos puede dibujar sin levantar el lápiz.

Resulta sin embargo, que Darboux funciones que han delimitado las variaciones son en realidad continua. Así que en un intento de definir la continuidad de una forma más intuitiva, se ha encontrado una definición más estricta.

Peor aún, esto aún no es suficiente. Se puede demostrar que la función,

$$ f(x) = \begin{cases} x^3\sin (1/x), & \text{if } x \neq 0 \\ 0 & \text{if } x = 0 \end{casos} $$

es continua y se ha acotado la variación, pero realmente no se puede dibujar. Nota esta función también es derivable y tiene primera derivada continua. Me ahorraré los detalles, pero el uso de ideas similares, podemos construir también infinitamente diferenciable de las funciones de variación acotada, que no se puede dibujar en el papel.

A partir de esto, creo que se puede ver por qué no tratamos de modelo de continuidad fuera de la definición intuitiva. En lugar de ello, adoptamos la definición habitual porque es una forma mucho más útil e interesante la clase de funciones para trabajar con.

Answer 2

Estoy de acuerdo con ctoi y vadim respuestas. Permítanme añadir un par de cosas.

El $\varepsilon$-$\delta$ la definición está amañado para que si $f : X \rightarrow Y$ es una función entre espacios métricos, a continuación, los siguientes son equivalentes:

1. $f$ es $\varepsilon$-$\delta$ continua
2. $f$ preserva la "converge" relación; lo que significa que de $x \rightarrow x_\infty$ podemos deducir $f(x) \rightarrow f(x_\infty)$.

Creo que la Condición 2 está más cerca de lo que realmente se utilice en la práctica, por ejemplo, con frecuencia se desea conmutar $\frac{d}{dx}$ a través de una infinita suma, o cambiar el orden de integración, etc. Así que, como regla general, creo que cuando estamos pensando en la continuidad, se debe tener en cuenta su matemáticos propósito, a saber, la conservación de los límites.

Teniendo esta filosofía a su conclusión lógica, la convergencia de los espacios son muy muy natural de la estructura a estudiar. Modulo determinados en gran medida irrelevante problemas de tamaño, la idea es básicamente que:

• un espacio de convergencia es un conjunto $X$ junto con una distinguida colección de pares ordenados $(x,x_\infty)$ donde $x$ es un netos en $X$ $x_\infty$ es un elemento de $X$. La idea es que el $(x,x_\infty)$ es en esta colección iff $x$ converge a $x_\infty$; escribimos $x \rightarrow x_\infty$. Ciertos axiomas son impuestas.

• una de morfismos de convergencia de los espacios es una función continua, es decir, una función de $f : X \rightarrow Y$ tal que para todas las redes de $x$ $X$ y todos los elementos $x_\infty$$X$, $$(x \rightarrow x_\infty) \rightarrow (f(x) \rightarrow f(x_\infty))$$

Fue este punto de vista (es decir, que una función continua es, por definición, un morfismos de convergencia espacios) que me permitió, finalmente, hacer la paz con el $\varepsilon$-$\delta$ definición de continuidad de las asignaciones entre espacios métricos.

Por el camino, la categoría de $\mathbf{Conv}$ de la convergencia de los espacios es mejor comportamiento categorially de la categoría de espacios topológicos $\mathbf{Top}$; en particular, $\mathbf{Conv}$ es Cartesiana cerrada, mientras que $\mathbf{Top}$ famoso no lo es. Sus casi como si la categoría de la teoría está tratando de decirnos que la convergencia es en secreto la forma correcta de pensar acerca de la continuidad (cue X-Archivos de música del tema).

Answer 3

El Darboux definición no se corresponde muy bien con nuestra intuición acerca de la continuidad. Por ejemplo, los Conway función toma todos los valores en cada intervalo, y es por lo tanto Darboux. Sin embargo, no es continuo, y no creo que quiera ser continua, porque, ciertamente, no está de acuerdo con su profesor en la definición de dibujar sin levantar el lápiz.

Answer 4

Me quiero centrar en su pregunta "¿por qué no este utilizado como la definición de continuidad?" En otras palabras, usted está preguntando por qué no nos interpretar la continuidad significa "tener el valor intermedio de la propiedad."

Una respuesta que no se ha mencionado todavía que la continuidad puede ser un fenómeno puramente local. Que es, tiene sentido preguntarse si una función es continua o discontinua en un punto. Por el contrario, uno no puede preguntar si una función posee el valor intermedio de la propiedad en un punto. Mi entendimiento es que en la historia temprana de análisis, los aspectos locales y globales de continuidad a menudo no estaban cuidadosamente distinguido-o más bien, que ni siquiera eran reconocidos como diferentes. Esta es la razón por la que, por ejemplo, podría confundir a la continuidad y la continuidad uniforme. El último es estrictamente un fenómeno global, y también: no tiene sentido preguntar si una función es uniformemente continua en un punto. Pero cuando se hizo evidente que la continuidad que podría interpretarse como una pointwise fenómeno, estos diferentes tonos de regularidad -- local versus global -- apareció a la vista.

Añadió:

Por supuesto, ya he mencionado que los tonos de la regularidad, que bien podría señalar que el valor intermedio de la propiedad no le dice nada acerca de la suavidad (la diferenciabilidad). Si desea continuidad a ser el primer paso en una jerarquía de grados de la diferenciabilidad, usted necesita para buscar una noción de la continuidad de la urografía EXCRETORA. No sé exactamente cómo la historia ha desempeñado, pero usted puede ver por qué, cuando se hizo evidente que la diferenciabilidad es también un pointwise fenómeno, habría buscado una noción de pointwise continuidad a encajar en este marco. (Compare esto con la búsqueda de la noción de derecho de la diferenciabilidad de funciones multivariables: usted quiere escoger el derecho de definición para garantizar la continuidad.)