Demostrar $\det(A - nI_n) = 0$.

Question

Problema: Demostrar que $\det(A - n I_n) = 0$ al $A$ $(n \times n)$- matriz con todos los componentes igual a $1$.

Intento de solución: he intentado utilizar la expansión de Laplace, pero que no funcionó. Veo la matriz será de la forma \begin{align*} \begin{pmatrix} 1-n & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1-n & \cdots & 1 \\ \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1-n \end{pmatrix} \end{align*} quiero conseguir de alguna manera dos igualdad de filas o columnas, o en una fila/columna de cero mediante operaciones elementales. Pero no veo de qué debo hacer?

Answer 1

Sugerencia: Agregar el resto de filas de la primera fila. Lo de la fila, obtendrá después de eso?

Answer 2

El autovalor de la $n \times n$ matriz en la que cada entrada es $1$ $n$ (de multiplicidad $1$) y $0$ (de multiplicidad $n-1$). Prueba aquí

Así, por ejemplo una matriz de $A$,$\det(A - \lambda I_n) = 0$, e $\lambda = n$.