No estoy muy familiarizado con el lenguaje de las probabilidades, pero si he entendido mal lo que querías decir, debería ser fácil adaptar la respuesta a tus necesidades.
Dejemos que $p$ sea la probabilidad de ganar una ficha y $1-p$ la probabilidad de perder una ficha. La pregunta es sobre las probabilidades de $0$ o $N+M$ que se alcanza primero, a partir de $N$ . Sea $a_k$ sea la probabilidad de $N+M$ que se alcanza primero, a partir de $k$ por lo que buscamos $a_N$ . Las probabilidades $a_k$ satisfacen la recurrencia
$$ a_k=pa_{k+1}+(1-p)a_{k-1}\;. $$
La ecuación característica es
$$ p\lambda^2-\lambda+(1-p)=0\;, $$
con valores característicos $\lambda=1$ y $\lambda=(1-p)/p$ . Si entiendo bien el término, $(1-p)/p$ es precisamente las probabilidades $O$ contra su apuesta, por lo que tenemos
$$ a_k=c_1+c_2O^k\;. $$
Los valores límite $a_0=0$ y $a_{N+M}=1$ rendimiento $c_1+c_2=0$ y $c_1+c_2O^{N+M}=1$ , con solución $c_1=-c_2=1/(1-O^{N+M})$ Así que
$$ a_k=\frac{1-O^k}{1-O^{N+M}} $$
y
$$ a_N=\frac{1-O^N}{1-O^{N+M}}\;. $$
Para las probabilidades pares ( $p=1/2$ , $O=1$ ), debe entenderse como un límite, que puede evaluarse mediante la regla de L'Hôpital para obtener $a_N=N/(N+M)$ .
Para que sea más probable que $N+M$ se alcanza, queremos $a_N\gt1/2$ y por lo tanto
$$ \begin{align} \frac{1-O^N}{1-O^{N+M}}&\gt\frac12\;,\\ O^N\left(2-O^M\right)&\lessgtr1\;, \end{align} $$
para $O\lessgtr1$ .
