¿La serie $\sum\limits_n(2^{1/n} - 1)$ convergen?

Question

¿La serie $\sum\limits_{n=1}^\infty (2^{1/n} - 1)=(2^1 - 1) + (2^{\frac{1}{2}} - 1)+ ... +(2^{\frac{1}{n}}-1)+...$ convergen?

Me siento como que se aparta de la misma manera como $\sum \frac{1}{n}$ bifurca: muy lento, en una escala logarítmica.

Answer 1

Su intuición es correcta!

Utilizando el hecho de que $e^x-1 \ge x$ para todos los verdaderos $x$, $2^{\tfrac{1}{n}}-1 = e^{\tfrac{1}{n}\ln 2}-1 \ge \dfrac{1}{n}\ln 2$ todos los $n$.

Entonces, desde el $\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{1}{n}\ln 2$ diverge, $\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}2^{\tfrac{1}{n}}-1$ diverge por comparación directa.

Answer 2

Su serie y la serie armónica son asintóticamente equivalentes, como $$ \lim_{n\to\infty}\frac{2^{1/n}-1}{1/n}=\lim_{x\to0}\frac{2^x-1}{x}=\ln2 $$