La conexión entre algunas de las desigualdades

Question

Deje $I \subset \mathbb{R}$ ser un intervalo, $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ ser una función y deje $n \geq 2, n \in \mathbb{N}$ número fijo.

Vamos a considerar las siguientes condiciones:

1. $\displaystyle f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \leq \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \textrm{ for } x_1, x_2 \in I$;

2. $\displaystyle f\left(\frac{x_1+...+x_n}{n}\right) \leq \frac{f(x_1)+...+f(x_n)}{n} \textrm{ para } x_1,...,x_n \in I$.

Por http://math.stackexchange.com/a/83398/22907 1. implica 2.

Hace 2. implica 1. ?

Answer 1

Deje $a,b\in I$. Si $n$ es incluso, $n=2p$ acaba de tomar $x_1=\ldots=x_p=a$$x_{p+1}=\ldots,=x_{2p}=b$. Tenemos $$f\left(\frac 1{2p}\left(\sum_{j=1}^pa+\sum_{j=1}^pb\right)\right)\leq \frac{\sum_{j=1}^pf(a)+\sum_{j=1}^pf(b)}{2p},$$ así $$f\left(\frac{pa+pb}{2p}\right)\leq \frac{pf(a)+pf(b)}{2p}\Rightarrow f\left(\frac{a+b}2\right)\leq \frac{f(a)+f(b)}2.$$

Si $n=2p+1$, poner $x_1=\ldots=x_p=a$, $x_{p+1}=\ldots=x_{2p}=b$ y $x_{2p+1}=\frac{a+b}2\in I$. Tenemos, usando 2. que $$f\left(\frac{a+b}2\right)=f\left(\frac{pa+\frac a2+pb+\frac b2}{2p+1}\right)\leq \frac{pf(a)+pf(b)+f\left(\frac{a+b}2\right)}{2p+1}$$ por lo $$f\left(\frac{a+b}2\right)\left(1-\frac 1{2p+1}\right)\leq p\frac{f(a)+f(b)}{2p+1}$$ por lo tanto $2pf\left(\frac{a+b}2\right)\leq p(f(a)+f(b))$, QED.