Ayuda para demostrar $F_n^5+F_{n+1}^5=F_{n+2}[(F_nF_{n+1}+F_{n-1}^2)^2+F_{n-1}^2F_nF_{n+1}]$

Question

$0,1,1,2,3,5,8,...$ $n=0,1,2,3,4...$ es el n-ésimo números de Fibonacci.

$$F_n^5+F_{n+1}^5=F_{n+2}[(F_nF_{n+1}+F_{n-1}^2)^2+F_{n-1}^2F_nF_{n+1}]$$

¿Cómo podemos demostrar que?

Trato:

Ampliar y simplificar a

$F_{n+2}[(F_nF_{n+1})^2+3F_{n-1}^2F_nF_{n+1}+F_{n-1}^4]=F_n^5+F_{n+1}^5$

Cualquier sugerencias serían útiles? Gracias!

Vi a dos de estas identidades de mathworld

$F_{n-1}F_{n+1}=F_n^2+(-1)^n$ $F_n^4-F_{n-2}F_{n-1}F_{n+1}F_{n+2}=1$

Puede ser que estos pueden ayudar a simplificar la de arriba pero no puedo ver todavía.

Una sugerencia de @Rohan

$(a+2b)[b^2(a+b)^2+3a^2b(a+b)+a^4]$

$=(a+2b)[4a^2b^2+2ab^3+3a^3b+a^4+b^4]$

$=(4a^3b^2+2a^2b^3+3a^4b+a^5+ab^4)+(8a^2b^3+4ab^4+6a^3b^2+2ba^4+2b^5)$

$=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+2b^5$

Answer 1

Sugerencia: Considere El $F_{n-1} = a, F_n =b$. Entonces, tenemos, $F_{n+1} = a+b$$F_{n+2} = a+2b$.

Ahora, a continuación, la LHS, se convierte en $[b^5 + (a+b)^5] = a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4 + 2b^5$. Trate de factorización esto y el resultado de la siguiente manera. Espero que ayude.

Answer 2

Uno de los interesantes método para la obtención de las relaciones entre los elementos de los números de Fibonacci se basa en el método de la matriz. Vi este post acerca de una relación entre los números de Fibonacci y ahora la peresent pregunta. La estrategia de las respuestas de dos preguntas son las mismas y se basa en el hecho de que si $F_n=a$ $F_n+1=b$ $F_n+2=a+b$ y el acabado. Ahora quiero sugerir el método de la matriz para este tipo de Pregunta.

Supongamos que queremos encontrar una forma cerrada de expresión para $F_n^m$ donde $F_n$ $n$ésimo término de la sucesión de Fibonacci y $m$ es no negativo número entero. El número de $m$ es par o impar. Deje $m=2k+1$ donde $k$ es un número natural. Sabemos que el $Q$ matriz es de la forma siguiente $$Q= \left( \begin {array}{cc} 0&1\\ 1&1 \end {array} \right)$$ Y es bien conocido que el $n$th poder de $Q$ matriz es como sigue $$P^n= \left( \begin {array}{cc} F_{{n-1}}&F_{{n}}\\ F_{{n}}&F_{{n+1}} \end {array} \right)$$ Es fácil ver que $$det(Q^n)={(-1)}^n \Longrightarrow F_{{n-1}}F_{{n+1}}-{F_{{n}}}^{2}={(-1)}^n$$ Ahora, queremos encontrar una forma cerrada de expresión para $F_n^m=F_n^{2k+1}=F_n^{2k}\,F_n$. En primer lugar, se calculan de la siguiente ecuación $${(F_{{n-1}}F_{{n+1}}-{F_{{n}}}^{2})}^k={(-1)}^{nk}$$ Podemos reescribir la anterior eqation como se muestra $$F_n^{2k}=G(n)+{(-1)}^{nk} \Longrightarrow F_n^{2k+1}=F_n\,G(n)+F_n\,{(-1)}^{nk}$$ Donde $G(n)$ es una función basada en la serie de elementos. Por ejemplo, queremos encontrar una forma cerrada experesion para $F_n^5$. En primer lugar, obtenemos la siguiente ecuación $${(F_{{n-1}}F_{{n+1}}-{F_{{n}}}^{2})}^2={(-1)}^{2n}$$ $${F_{{n-1}}}^{2}{F_{{n+1}}}^{2}+{F_{{n}}}^{4}-2\,F_{{n-1}}{F_{{n}}}^{2} F_{{n+1}}=1$$ $${F_{{n}}}^{4}=2\,F_{{n-1}}{F_{{n}}}^{2} F_{{n+1}}-{F_{{n-1}}}^{2}{F_{{n+1}}}^{2}+1$$ $${F_{{n}}}^{5}=2\,F_{{n-1}}{F_{{n}}}^{3} F_{{n+1}}-{F_n}{F_{{n-1}}}^{2}{F_{{n+1}}}^{2}+F_n$$ Ahora, usando la expresión de ${F_{{n}}}^{5}$, llegamos a la conclusión de que $${F_{{n+1}}}^{5}=2\,F_{{n}}{F_{{n+1}}}^{3} F_{{n+2}}-{F_{n+1}}{F_{{n}}}^{2}{F_{{n+2}}}^{2}+F_{n+1}$$ De la suma de las expresiones ${F_{{n}}}^{5}$${F_{{n}}}^{5}$, podemos obtener nuestros resultados.