Demostrar que $M=\alpha I_n\iff$ ninguna matriz en $S$ tiene un cero en cualquier parte de su diagonal.

Question

Dejemos que $M$ sea una matriz compleja cuadrada, y que $S = \{XMX^{-1} | \det(X)\neq 0 \}$ es decir $S$ es el conjunto de todas las matrices similares a $M$ .

Demostrar que $M=\alpha I$ para algunos $\alpha\neq 0$ si y sólo si ninguna matriz en $S$ tiene un cero en cualquier parte de su diagonal.

La parte de sólo si es trivial. Ni idea de la otra parte...

Answer 1

La matriz $M$ tiene una forma canónica racional $M'$ una matriz similar que es una suma diagonal de matrices compañeras. Una de las matrices complementarias es la asociada al polinomio mínimo de $M$ . Las únicas matrices compañeras sin un cero en la diagonal son $1$ -por- $1$ matrices, por lo que si $M'$ no tiene ningún cero en la diagonal, su polinomio mínimo es lineal y es una matriz escalar.