Todos los números reales en $[0,2]$ puede representarse como $ \sqrt {2 \pm \sqrt {2 \pm \sqrt {2 \pm \dots }}}$

Question

Me gustaría tener alguna referencia sobre esta expansión radical infinitamente anidada para todos los números reales entre $0$ y $2$ .

Usaré una taquigrafía para esta expansión, como una cadena de signos, $+$ o $-$ con infinitos períodos denotados por paréntesis.

$$2= \sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + \dots }}}=(+)$$

$$1= \sqrt {2 - \sqrt {2 - \sqrt {2 - \dots }}}=(-)$$

$$0= \sqrt {2 - \sqrt {2 + \sqrt {2 + \dots }}}=-(+)$$

$$ \phi = \sqrt {2 + \sqrt {2 - \sqrt {2 + \sqrt {2 - \dots }}}}=(+-)$$

$$ \frac {1}{ \phi }= \sqrt {2 - \sqrt {2 + \sqrt {2 - \sqrt {2 + \dots }}}}=(-+)$$

En general, la expansión puede ser encontrada por un algoritmo muy fácil:

• tomar cualquier número en $(0,2)$ cuadrarlo
• si el resultado $>2$ escribe $+$ si el resultado $<2$ escribe $-$
• Reste $2$ del resultado, al cuadrado, repita

Si en algún paso conseguimos $2$ exactamente, sólo escribimos $(+)$ y la expansión está terminada.

Ejemplos:

$$ \pi -2=--+-++-+-+++++++-+-+---------+-+--+--+--+++---++++ \dots =1.141592653589793 \dots $$

Básicamente, $50$ los términos de nuestra expansión dieron sólo $15$ corregir los dígitos decimales para $ \pi $ . Pero considerando que la expansión puede ser codificada como binaria, no es tan malo.

La trama de la convergencia, y dos tramas binarias para esta $50$ Los términos pueden verse a continuación:

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$$e-1=+-----+++-++-+---++-++++-+---++-+++-++++-++++---++ \dots =1.71828182845905 \dots $$

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¿Conoces alguna referencia sobre esta expansión? ¿Puede cada número real entre $0$ y $2$ ser expandido de esta manera?

Es el número $2$ especial en este caso, o podemos hacer una expansión similar usando algún otro número (y otra potencia para la raíz)?

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Edita

Ahora que lo pienso, podemos usar la expansión general para $x \in [0,a]$ :

$$x= \left (a \pm \left (a \pm \left (a \pm \dots \right )^p \right )^p \right )^p$$

$$a=2^{ \frac {p}{1-p}}$$

Por ejemplo:

$$ \frac {1}{4}= \left ( \frac {1}{4} + \left ( \frac {1}{4} + \left ( \frac {1}{4} + \dots \right )^2 \right )^2 \right )^2$$

$$ \frac {3}{4}- \frac { \sqrt {2}}{2}= \left ( \frac {1}{4} - \left ( \frac {1}{4} - \left ( \frac {1}{4} - \dots \right )^2 \right )^2 \right )^2$$

etc.

Sin embargo, este caso $p=2,~~~a= \frac {1}{4}$ no es sólo un ejemplo al azar, es la única expansión racional de este tipo. Así que diría que es más importante que la expansión de la raíz titular.

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Edita

Un interesante artículo que conecta las raíces anidadas de este tipo con los polinomios de Chebyshev: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X12003344

Answer 1

Aquí hay una posible explicación. Deje que $ \alpha \in [0, \pi /2]$ y definir $ \epsilon_1 , \epsilon_2 , \cdots $ por $ \epsilon_i = \operatorname {sgn}( \cos ( 2^i \alpha )) \in \{-1, 1\}$ . Aquí, tomamos la convención que $ \operatorname {sgn}(0) =1 $ . Entonces aplicando la identidad $2 \cos\theta = \operatorname {sgn}( \cos\theta ) \sqrt {2 + 2 \cos (2 \theta )}$ repetidamente, tenemos

$$ 2 \cos \alpha = \sqrt {2 + \epsilon_1 \sqrt {2 + \epsilon_2 \sqrt { \cdots + \epsilon_n \sqrt {2 + \smash [b]{2 \cos (2^{n+1} \alpha )} }}}}. $$

Esto puede utilizarse para mostrar que, con una definición apropiada de radical anidado infinito, la siguiente identidad

$$ 2 \cos \alpha = \sqrt {2 + \epsilon_1 \sqrt {2 + \epsilon_2 \sqrt { 2 + \cdots }}} $$

es cierto. Esto muestra que cualquier número real entre $[0, 2]$ puede escribirse como un radical anidado infinito de la forma deseada. Por otra parte, si indicamos $x = 2 \cos\alpha $ Entonces

• $ \epsilon_1 = \operatorname {sgn}(2 \cos (2 \alpha )) = \operatorname {sgn}(x^2 - 2)$ ,
• $ \epsilon_2 = \operatorname {sgn}(2 \cos (4 \alpha )) = \operatorname {sgn}((x^2 - 2)^2 - 2)$ ,

y de la misma manera. Esto explica por qué los signos están determinados por el algoritmo de OP.

Answer 2

Observación peculiar

Si definimos un número binario $b = b_1b_2 \cdots b_n$ con los dígitos asignados a los símbolos como este: $$b_k = \begin {cases}0 \text { if } (-) \text { at position } k \\1 \text { if } (+) \text { at position } k \end {cases}$$ Entonces si ejecutamos el algoritmo propuesto en la pregunta, haciendo un bucle

x(k) = x(k-1)^2-2;
b(k) = (x(k)>0);

el vector b obtendrá valores lógicos correspondientes a los bits 1 y 0 del número binario anterior y podemos calcularlo para el espacio lineal de $x \in [0,1]$ . Si hacemos esto podemos calcular cada número como el producto escalar $$[1/2,1/4, \cdots ,1/2^k]b$$ y si luego lo trazamos, parecerá que

Que es una especie de trama peculiar que tiene un poco de una estructura discontinua y fractal. Creo que la mayor discontinuidad está alrededor $x = \sqrt {1/2}$ pero no tengo una explicación teórica de por qué

editar como señaló Sangchul Lee esto parece similar a Mapa de la tienda

Answer 3

Tu algoritmo muestra más o menos que existe una expansión para cada número en $[0,2]$ .

Si reemplazamos $2$ por $a>2$ (y mantener la raíz cuadrada), fallaremos porque necesitamos que el cuadrado de un número del intervalo $[u,v]$ produce un número que está en $a+[u,v]$ o en $a-[u,v]$ . Así que debemos tener $u=0$ y $v \ge a$ y $v^2 \le a+v$ . Las dos últimas implican $a \le v \le 2$ .

Si adicionalmente cambiamos a $k$ de las raíces, la condición se convierte en que $v \ge a$ y $v^k \le a+v$ Por lo tanto $a \le v \le\sqrt [k-1]2$ .