La aplicación de Prokhorov del teorema de la colección de variables aleatorias

Question

Supongamos que tenemos una colección de variables aleatorias $X_{i,n}$ $i \in [0,1]$ $n=1,2,3....$ Supongamos que esta colección de variables aleatorias es apretado. Entonces, podemos construir un subsequence $n'$ tales que a lo largo de esta larga para todos $i$, $X_{i,n}$ converge a algunos $X_{i}$ en la distribución?

Answer 1

Parece que podemos crear algunas malas distribuciones/variables aleatorias. Hay $2^{\aleph_0}$ subsecuencias de $\mathbb{N}$. Hay $2^{\aleph_0}$ números entre 0 y 1. Así que podemos asociar a cada número $i$ con una larga $(n')$. A continuación, definimos $X_{i,n}$ a ser lo que sea (pero uniformely limitado) por $n \notin (n')$. Para $n \in (n')$ $X_{i,n}$ puede ser $\delta_0$ $\delta_1$ por turnos (para evitar la convergencia).

EDIT: Para $i$ pertenecientes a una contables set $I$ (en lugar de $[0,1]$) podemos utilizar el método diagonal - no necesitamos ni opresión de toda la familia de estanqueidad de cada familia $(X_{i,n})_{n\in \mathbb{N}}$ ($i$ fijo) sería suficiente.

Answer 2

En Laurent Schwartz libro "el Radón medidas arbitrarias de espacios topológicos y cilíndrico medidas" hay un muy largo, complicado y muy interesante teorema (es decir, p291 Teorema 10), que es esencialmente Prokhorov del teorema de variables aleatorias en una amplia gama de hipótesis (y un contraejemplo cuando la hipótesis no se cumple).

Este es un excelente libro que es mucho tiempo fuera de impresión.