La expectativa de los Operadores Complejos

Question

Dado un operador $\hat{\alpha}$, ¿cómo podemos obtener,

$$ \sqrt{ \left\langle \left( \hat{\alpha} - \left\langle\hat{\alpha}\right\rangle \right)^2 \right\rangle } = \sqrt{ \left\langle\hat{\alpha}^2\right\rangle - \left\langle\hat{\alpha}\right\rangle^2 } $$ Mis pensamientos... Para simplificar, yo defino $A$,

$$ Un\equiv \left( \hat{\alpha} - \left\langle\hat{\alpha}\right\rangle \right)^2 = \hat{\alpha}^2 + \left\langle\hat{\alpha}\right\rangle^2 - 2\hat{\alpha}\left\langle\hat{\alpha}\right\rangle $$ entonces, ¿qué hago con el extra de $-2 \left\langle \hat{\alpha}\left\langle\hat{\alpha}\right\rangle \right\rangle$ in $\langle\rangle$?

$$ \implica \left\langle \hat{\alpha}^2 \right\rangle + \left\langle \left\langle\hat{\alpha}\right\rangle^2 \right\rangle -2 \left\langle \hat{\alpha}\left\langle\hat{\alpha}\right\rangle \right\rangle $$

Answer 1

Para la facilidad de la notación voy a escribir $T$ para el operador en lugar de $\hat \alpha$

Recuerde que $\langle T \rangle$ se define como $\langle T \rangle = \langle \psi ,T \psi\rangle$ para algunos el estado de $\psi$ (en el dominio de $T$$\langle \psi,\psi \rangle = 1$). A continuación, $\langle T \rangle$ es de hecho real si $T$ es hermetian.

Para calcular el $\left\langle (T - \langle T \rangle)^2\right\rangle$ tenga en cuenta que $\langle T \rangle$ es un número, sino $T$ es un operador, por lo que estamos en realidad interesado en el cálculo de $\left \langle (T - \langle T \rangle I )^2 \right\rangle$ donde $I$ es el operador identidad.

Para $A= (T - \langle T \rangle I )^2$, tenemos

$$A=(T - \langle T \rangle I )^2 = T^2 - \langle T \rangle T I - \langle T \rangle I T + \langle T \rangle^2 = T^2 - (2\langle T \rangle) T + \langle T \rangle ^2$$

Por lo tanto, $$\langle A \rangle = \left \langle (T - \langle T \rangle I )^2 \right\rangle = \left\langle T^2 + (-2\langle T \rangle) T + \langle T \rangle ^2 \right\rangle= \langle T^2 \rangle + \left\langle \left(-2\langle T \rangle \right) T \right\rangle + \left\langle \langle T \rangle ^2 \right\rangle.$$

Ahora, desde la $\langle T \rangle$ es un número, obtenemos $\left\langle\left(-2\langle T \rangle \right) T \right\rangle = -2 \langle T\rangle \langle T \rangle$$\langle \langle T \rangle^2 \rangle = \langle T \rangle^2 \langle \psi,\psi \rangle = \langle T \rangle^2 \cdot 1= \langle T \rangle\langle T \rangle$.

Finalmente llegamos $$\langle A \rangle = \langle T^2 \rangle - 2 \langle T\rangle \langle T \rangle + \langle T \rangle\langle T \rangle = \langle T^2 \rangle - \langle T\rangle \langle T \rangle = \langle T^2 \rangle - \langle T\rangle ^2.$$

Este número es real si $T$ es hermetian.

Answer 2

$$ -2 \left\langle \hat{\alpha}\left\langle\hat{\alpha}\right\rangle \right\rangle = -2 \left\langle \hat{\alpha} \right\rangle \left\langle\hat{\alpha}\right\rangle $$ y eso es cierto porque el $\langle \ \ \rangle $ "ve" $\hat{\alpha}$, ya que el $\langle \hat{\alpha} \rangle $ ya se ha actuado, y por lo tanto, es un número. En general, este es compleja y en el caso de hermitian $\hat{\alpha}$ real. Así, tenemos,

$$ \left\langle \hat{\alpha}^2 \right\rangle + \left\langle \left\langle\hat{\alpha}\right\rangle^2 \right\rangle -2 \left\langle \hat{\alpha}\left\langle\hat{\alpha}\right\rangle \right\rangle = \left\langle \hat{\alpha}^2 \right\rangle + \left\langle\hat{\alpha}\right\rangle^2 -2 \left\langle \hat{\alpha} \right\rangle^2 = \left\langle \hat{\alpha}^2 \right\rangle - \left\langle\hat{\alpha}\right\rangle^2 $$ y el resto de la siguiente manera.