Unidad de bola separable $\Longrightarrow$ Espacio separable

Question

Dada una normativa espacio de $X$ y supongo que también es localmente convexo de un espacio en algunos otros topología (por ejemplo, débiles o débiles* si es un doble). Suponga que la unidad de la bola de $B_X$ es separable en esta topología. Entonces es cierto que el $X$ es separable en esta topología?

Creo que esto es cierto. Deje $D\subset B_X$ ser denso. A continuación, $\bigcup_{n\in\mathbb{N}} n D $ es denso en $X$, ¿verdad?

Mi intento de la prueba: Dado $x\in X$, $\frac{1}{N} x \in B_X$ algunos $N$ lo suficientemente grande. Ahora existe una secuencia $(y_n)_n \subset D$ tal que $y_n \to \frac{1}{N}x$$n\to\infty$. Por lo tanto $N y_n \to x$ y claramente $Ny_n \in N D$.

Comentario: En mi definición de un LCS, la topología también es Hausdorff.

Answer 1

La prueba está bien. Se construyó una contables subconjunto de $E\subset X$, luego demostró que cada una de las $x\in X$ tiene una secuencia $(y_n)\subset E$ tal que $y_n\rightarrow x$ en la topología. Utilice la linealidad de $X$ y la divisibilidad de las $B_X$ construcción$E$$y_n$, y la condición de Hausdorff (implícitamente) para demostrar que $y_n\rightarrow x$. No hay nada escondido bajo las sábanas!