Entero positivo soluciones de $x^2-1 = y^p$

Question

Deje $x,y$ dos enteros positivos tales que a $x^2-1=y^p$ donde $p$ es un primo. Encontrar todos los posibles $x,y,p$

He intentado utilizar el Levantamiento de la Exponente Lema o teniendo en cuenta los primos más pequeños que divide $x$ o que divide $y$ y trató de resolver. Creo que el $(x,y,p)=(3,2,3)$ es la única solución, pero puede haber algunos más.

En lugar de proporcionar una completa solución me pueden dar alguna sugerencia al principio? Si todavía no puedo resolver, voy a publicar mis métodos, he intentado utilizar la pista y, a continuación, solicitud para una solución completa.

Answer 1

Aquí es una respuesta parcial que muestra que no hay soluciones si $y$ es impar. Os dejo parte de ella en spoiler etiquetas desde la OP quería sugerencias.

Tenemos $x^2 - 1 = y^p$$(x + 1)(x - 1) = y^p$.
La primera asume que el $y$ es impar.

Tenemos $\gcd(x + 1, x - 1) \mid 2$, y desde $y$ es impar, lo que significa $x$ es aun y así $x \pm 1$ es impar. Por lo que son coprime.

Por el hecho de que $\mathbb{Z}$ es un UFD, esto obliga a $x + 1 = m^p$ $x - 1 = n^p$ para algunos enteros positivos $m, n$.

Por lo tanto $2 = m^p - n^p = (m - n)(m^{p-1}n + \ldots + m^2n^{p-2} + mn^{p-1})$.

Esto significa $m = n + 1$ o $m = n + 2$.

En el primer caso tenemos a $(n + 1)^p - n^p = 2$ lo cual es imposible puesto que el lado izquierdo es impar.

En el segundo caso tenemos a $(n + 2)^p - n^p = 2$ que tiene solución única $n = 1, p = 1$ pero $1$ no es primo por lo que este no cuenta. Tenga en cuenta que la solución es única, debido a que el lado izquierdo es una función creciente de ambos $n$$p$.

Así que no hay soluciones con $y$ impar.

Answer 2

IGNORAR

Solución a $y=$ incluso

$x$ es impar, por lo que, $$(x-1)(x+1)=(2b)^p$$ $$\implies \frac{x-1}{2}\cdot\frac{x+1}{2}=2^{p-2}b^p$$. (It's possible bcoz both $x-1, x+1$ son incluso.

Por lo tanto, manteniendo $\frac{x+1}{2}=m$$\frac{x-1}{2}=m-1$, podemos ver a uno de $m-1, m$ $2^{p-2}$ y la otra es $b^p$. Comprobación $b>2$$b<2$, obtenemos $(x,y,p)=(3,2,3)$ como la única solución.