Un finlandés concurso de matemáticas pide demostrar que para todos los $x$ tenemos $x^8-x^7+2x^6-2x^5+3x^4-3x^3+4x^2-4x+\frac{5}{2}\geq 0$ para todos los verdaderos $x$. He oído que se desprende de Hilbert del problema que uno puede demostrar que esta escribiendo el polinomio como suma de cuadrados. ¿Cómo puedo encontrar este tipo de representación? Me las arreglé para demostrar la desigualdad mediante la consideración de los casos $x\leq 0$, $0<x<1$ y $x\geq 1$ por separado, pero yo era incapaz de encontrar una solución basada en la suma de los cuadrados.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No estoy seguro de si esto es lo que estás buscando, pero funciona y es bastante elemental.
Podemos tomar el mayor de los tres poderes y hacer esto: $$ x^8-x^7+x^6 = x^6(x^2-x+1) = x^6\left[\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right] = x^6 \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} x^6, $$ lo que nos da la expresión $$ x^6 \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} x^6 + −2x^5+3x^4−3x^3+4x^2−4x + \dfrac{5}{2}. $$ Haciendo esto tres veces más resultados en $$ x^6 \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}x^4\left(x-\dfrac{4}{3}\right)^2 + \dfrac{5}{3}x^2\left(x-\dfrac{9}{10}\right)^2 + \dfrac{53}{20}\left(x-\dfrac{40}{53}\right)^2 + \dfrac{105}{106} \geq 0. $$
