Pendiente de una curva no lineal en un solo punto

Question

Esta parte de mi plan de clases de microeconomía me tiene desconcertado.

Consideremos, por ejemplo, la función no lineal continua y diferenciable Y = f(X) = X 2 + 4. Supongamos que queremos conocer su pendiente en el punto (X, Y) = (3, 13). La derivada de esta función es f '(X) = 2X que toma el valor 6 cuando X = 3. Por lo tanto, la pendiente de esta función es 6 en el punto (3, 13).

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He puesto en negrita las partes que creo que perturban mi comprensión, concretamente. Por un lado, siempre he entendido que la pendiente es entre dos puntos . Puedo conceptualizar la pendiente en un solo punto de una curva (un palo contra una bola lograría lo mismo - una sola solución para cada punto) pero no cuál sería su propósito.

La otra cosa que me confunde es de donde proviene el derivado. Cada ecuación que he encontrado (he investigado en Internet sobre esto) parece sacar una derivada de la nada, sin relación con la propia ecuación.

He llegado hasta la trigonometría en mis estudios y cada resultado de internet que he encontrado me lleva al terreno del cálculo. ¡Pero esa clase no era un prerrequisito para la microeconomía! ¿Puede alguien aclararme esto? Sé que se supone que debo encontrar la línea tangente en ese punto, pero ¿hay una forma más matemática de lograr esto? que el método visual de trazar el gráfico y utilizar una regla?

Answer 1

La derivada mide la pendiente de una tangente en un punto $P$ de la curva. Esto es aproximadamente la pendiente de un segmento de línea $PP'$ con $P'$ cerca de $P$ . El más cercano $P'$ se elige para $P$ cuanto mejor sea la aproximación. Así, la derivada mide la influencia de los cambios -en principio sólo de muy muy pequeño pero, en la práctica, también de cambios de tamaño razonable (siempre que no entre en juego la forma no lineal de la curva).

Encontrar la derivada de una función elemental (es decir, prácticamente cualquier cosa que se pueda escribir en una expresión) es posible utilizando un puñado de reglas, como $\frac d{dx} x^n=nx^{n-1}$ , $\frac d{dx} (f+g)(x)=\frac d{dx} f(x) + \frac d{dx} g(x)$ y $\frac d{dx} (f\cdot g)(x) = f(x) \frac d{dx} g(x) + g(x) \frac d{dx} f(x)$ . Estos deben ser cubiertos en cualquier curso de introducción al cálculo ...

Answer 2

Puede abarcar las derivadas, o adquirir cierta intuición y habilidades para diferenciar funciones comunes, en el Academia Khan que proporciona vídeos cortos de motivación e introducción a las derivadas, y explica cómo tomar las derivadas de varios tipos de funciones, lineales y no lineales. (El enlace es a Cálculo I.) También, vea Notas en línea de Paul - Cálculo I, para tutoriales, ejercicios, soluciones para la práctica. También puedes buscar en tu biblioteca un Cálculo dirigido a estudiantes de economía y ciencias sociales.

Las derivadas, como mencionas, miden la pendiente de una recta tangente en un punto P de una función (curva). La derivada es una medida de cómo cambia el valor de una función cuando cambia su entrada. En términos generales, una derivada puede considerarse como la cantidad que cambia una cantidad en respuesta a los cambios de otra cantidad; por ejemplo, la derivada de la posición de un objeto en movimiento con respecto al tiempo es la velocidad instantánea del objeto.