Interpretación probabilística para la representación de la unidad utilizando la función de zeta

Question

Hay una identidad Linda, creo que debido a Borwein, Bradley y Crandall (sección 4):

$$1=\sum_{n=2}^\infty (\zeta(n)-1).$$

Hay algunas generalizaciones en el documento vinculado así.

Pregunta: ¿Existe una interpretación probabilística interesante esto que viene en alguna parte? En otras palabras, una variable aleatoria $X$ tal que $P(X=n)=\zeta(n)-1$, $n\geq 2$.

Tenga en cuenta que $\zeta(n)>1$ % todo $n>1$y $0<\zeta(n)-1<1$ % todos $n\geq 2$.

Answer 1

Existe una familia de distribuciones de llamada de Zipf (a veces zeta) de las distribuciones. Una variable aleatoria $X$ con esta distribución satisface $$\mathbb P(X=n)=\frac{n^{-s}}{\zeta(s)},\qquad\qquad n=1,2,3,\dots$$ donde $s>1$ es un parámetro de la distribución. Una de las principales propiedad interesante de esto es que los factores primos de a $X$ son independientes, que es el de los eventos de $[p_1|x],[p_2|X],\dots,[p_k|X]$ son independientes de los números primos $p_1,\dots,p_k.$

Yo no sé acerca de el caso de que tu hablando, aunque parece ser un caso especial de la distribución discutido en el papel de Una Distribución de Probabilidad Asociada con la Zeta de Hurwitz Función de Actas de la Sociedad Matemática Americana, vol. 99 no. 4 (Abr. 1987), pág. 757-759. Usted puede ser capaz de acceder a ella en JSTOR.

EDIT: Aquí es a partir de la AMS.