Discutir la unicidad de la solución de $\Delta u -u\int_{\Omega}u^2(y)dy=f$

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Hablar de la singularidad de los siguientes problemas utilizando la energía métodos:

\begin{cases} \Delta u -u{\displaystyle \int_{\Omega}}u^2(y)dy=f \quad \mbox{in } \Omega\\ u=\varphi \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \mbox{on } \partial\Omega \end{casos}

con $\Omega \subset {\rm I\!R}^n$ delimitada, $f$ $\varphi$ continuo y $u\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})$.

Me empezó a considerar $w=u-v$. Tengo $$\Delta w=\Delta u - \Delta v=u||u||^2_{L^2}+f-v||v||^2_{L^2}-f$$ y luego, multiplicando por $w$ e integrando por partes, tengo $$||\nabla w||^2+{\displaystyle \int_{\Omega}}(u-v)(u||u||^2_{L^2}-v||v||^2_{L^2})=0.$$ Y entonces me quedo atascado. ¿Tiene alguna sugerencia? Gracias!

Answer 1

Cerca de la solución, eres. Papel de ALUMINIO dentro de la integral, debe. Entonces, $$||\nabla w||_{L^2}^2+\int_{\Omega}(u-v)\left(u||u||_{L^2}^2-v||v||_{L^2}^2\right) = ||\nabla w||_{L^2}^2+\frac{1}{2}\left(||u||_{L^2}^2-||v||_{L^2}^2\right)^2+\frac{1}{2}||w||_{L^2}^2\left(||u||_{L^2}^2+||v||_{L^2}^2\right)=0$$ después de aplicar el hecho de que $$||w||_{L^2}^2 = ||u||_{L^2}^2+||v||_{L^2}^2 - 2\int_{\Omega}uv$$ y hacer un poco de álgebra. Así que ahora tenemos $$||\nabla w||_{L^2}^2+\frac{1}{2}\left(||u||_{L^2}^2-||v||_{L^2}^2\right)^2=-\frac{1}{2}||w||_{L^2}^2\left(||u||_{L^2}^2+||v||_{L^2}^2\right)$$ Observe que el lado izquierdo es positivo, mientras que el lado derecho es negativo. La única manera de que esta ecuación puede ser satisfecho es si ambos lados son iguales a cero, y que sólo puede ocurrir cuando la $u$ $v$ son equivalentes. Así, la singularidad, la tenemos.