Deje $A,B \in M(n,\mathbb C)$ ; si $\exists P \in M(n, \mathbb C)$ $f(X) , g(X) \in \mathbb C[X]$ tal que $A=f(P) , B=g(P)$$AB=BA$ . Ahora supongamos $AB=BA$ ; luego no existe $P \in M(n,\mathbb C)$ $f(X) , g(X) \in \mathbb C[X]$ tal que $A=f(P)$$ B=g(P)$ ? Si esto no es cierto en general , entonces, ¿qué si asumimos que tanto $A,B$ son diagonalizable ? Es cierto entonces ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Sin duda, esto es cierto en el caso de que $A$ $B$ son diagonalizable: si $A$ $B$ son diagonlizable y conmuta, entonces ellos son simultáneamente diagonalizable. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que el $A$ $B$ son diagonales. Tenemos $$ A = \pmatrix{a_1\\&\ddots\\&&a_n} \quad B = \pmatrix{b_1\\&\ddots\\&&b_n} $$ Si tomamos $$ P = \pmatrix{1 \\ & \ddots \\ & &n} $$ A continuación, basta con encontrar polinomios de interpolación $f,g$ tal que $f(j) = a_j$$g(j) = b_j$$j = 1,\dots,n$.
No creo que esto es cierto en general. Yo creo que el siguiente es un contraejemplo: $$ A = \pmatrix{0&1\\&0\\&&1\\&&&1}, \quad B = \pmatrix{1\\&1\\&&0&1\\&&&0} $$