Todo lo que dices tiene sentido, en realidad la cuestión se reduce a lo que entendemos por "número de ... acciones."
Básicamente, usted está buscando incrustaciones de $\mathbf{Z}_{10}$ a $S_{100}$ en el que ningún elemento distinto de la identidad corrige cualquier punto. Dicha acción será completamente determinado por la acción de la $1$; y la propiedad de no arreglar cualquier punto significa que la imagen de $1$ debe ser un producto de 10 ciclos disjuntos, cada uno de longitud 10.
Hasta el isomorfismo (es decir, hasta un automorphism de $S_{100}$), sólo hay un elemento en común; es decir, cualquiera de los dos incrustaciones de $\mathbf{Z}_{10}$ a $S_{100}$ están relacionados por conjugación (cambio de nombre de los elementos de ${1,2,\ldots,100}$). Así que, en realidad, tendríamos sólo una y sólo una acción, "fundamentalmente", es decir, la acción, hasta el reetiquetado de los puntos, corresponden a la acción determinada por
$$1\longmapsto (1,2,\ldots,10)(11,12,\ldots,20)\cdots(91,92,\ldots,100).$$
Por otro lado, puede que no desee considerar las acciones de "la misma" a menos que sean completamente idénticos. En ese caso, incluso como un simple cambio como la asignación de $1$ a
$$1 \longmapsto (2,1,3,4,\ldots,10)(11,12,\ldots,20)\cdots(91,92,\ldots,100)$$
en lugar de eso nos va a dar una "nueva" de la acción. En esta situación, el número de acciones distintas, será igual al índice de la centralizador de
$$(1,2,\ldots,10)(11,12,\ldots,20)(91,92,\ldots,100)$$
en $S_{100}$. Este centralizador tiene orden de $100$, por lo que el número total de acciones $100!/100 = 99!$. Oops. Como Derek Holt señala, este cálculo es incorrecta y tonto (yo era la centralización de cada una de las $10$-ciclo, y para agravar el error por miscomputing $10\times 10$ en lugar de $10^{10}$). El centralizador en realidad tiene mayor orden: en primer lugar puede permutar las $10$ ciclos entre sí ($10!$ formas) y, a continuación, permutar cada ciclo en $10$ formas diferentes para obtener el mismo permutación. Así que usted consigue $10!(10^{10})$ elementos en el centralizador, dando un total de
$$\frac{100!}{10!10^{10}}$$
acciones.
O puede que desee acciones a ser "el mismo", si están de acuerdo hasta un automorphism de $\mathbf{Z}_{10}$, pero por lo demás es idéntico en $S_{100}$; en ese caso, usted quiere dividir por $|\mathrm{Aut}(\mathbf{Z}_{10})|$.
O tal vez en algún lugar en el medio.
Si usted desea considerar dos acciones como siendo "la misma" si las órbitas son los mismos (que es, creo yo, lo que usted describe en "la(s) que envíe un elemento del conjunto a su sucesor", es decir, el siguiente elemento más pequeño en la órbita, o en el caso de que el elemento más grande en la órbita, a la más pequeña), entonces usted desea contar el número de particiones de $\{1,2,\ldots,100\}$ en subconjuntos de tamaño $10$ cada uno de ellos. Usted obtener
$$\frac{1}{10!}\binom{100}{10}\binom{90}{10}\cdots\binom{10}{10}$$
las posibles particiones.
