Demostrar que para cada $n \geq 2$, $\Bbb R$ no es homeomórficos a $\Bbb R^n$

Question

Así que para ellos, a no ser homeomórficos la función o la inversa de la función no debe ser continua. La correcta? Debo asumir homeomorphism primero, y crear abierto las pelotas?

Answer 1

SUGERENCIA: Si elimina un punto de $\Bbb R$, lo que la izquierda no está conectado. Si $n\ge 2$, ¿ la eliminación de un punto de $\Bbb R^n$ dejo con un conectado o desconectado? (Creo que hemos tenido esto antes, pero si es así, yo no puedo encontrar inmediatamente.)

Answer 2

Esta es una prueba formal, con herramientas pesadas si usted sabe de homología. Si $\mathbb R^n $ $\mathbb R^m$ son homeomórficos través de, digamos,$ h$ , entonces la restricción de $h$ $\mathbb R^n-{(0^n)}$ % # % (componer con un nuevo homeomorphism para que $\mathbb R^m- {(0^m)} $ se asigna a $0^n$ si es necesario) es también un homeomorphism. Pero $0^n $ es homotópica a $\mathbb R^n-{0^n}$ $S^{n-1}$ es homotopically-equivalente a $\mathbb R^m -{0^m} $ ; y cualquiera de los dos homeomórficos espacios son homotopically-equivalente.

Para un parcial argumento de por qué $S^{m-1}$ no es homeomórficos a $\mathbb R^m $, aquí es un argumento de por qué $\mathbb R^n$ no puede ser homeomórficos a $\mathbb R^{2n+1}$,donde tal vez las "tripas"de la prueba puede ser visto, podemos generalizar el argumento aquí: http://blog.plover.com/math/R3-root.html , que utiliza grado de la teoría (grado de un mapa, el cual debe ser +/- 1 para un homeomorphism, y el grado de "agradable"propiedades de la composición.) lo que muestra que $\mathbb R^{2m}$ no es ä raíz cuadrada", es decir, $\mathbb R^3 $ no es homeomórficos para el producto de un espacio propio. Esta prueba puede ser generalizado a cualquier $\mathbb R^3$ no ser un producto de un espacio propio, mientras que nosotros tenemos el trivial resultado que $\mathbb R^{2n+1}$ es homeomórficos para el producto $\mathbb R^{2m}$ . Esta muestra $\mathbb R^m \times \mathbb R^m $ no es homeomórficos a $\mathbb R^{2n+1}$

Answer 3

El clásico argumento para probar que el $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^n$ ($n \geq 2$) no homeomórficos (dado por Brian M. Scott) es muy simple, elemental, y utiliza una clave de topológico de la propiedad de la línea real: cada punto es un fuerte punto de corte. La discusión Caracterización Topológica de la línea real en MO puede ser mencionado como una justificación.

Por cierto, otro argumento puede ser:

• Cualquier conectados subconjunto de $\mathbb{R}$ es de arco conectado (desde cualquier subconjunto es un intervalo).
• Para $n \geq 2$, $\mathbb{R}^n$ contiene no-arco-conectado conectado subconjuntos. (Véase, por ejemplo, Topologist de la curva sinusoidal.)

Answer 4

He aquí un rápido y primaria en la prueba:

Deje $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ ser una función continua. Tomar dos puntos distintos $a,\,b \in \mathbb{R}^n$, y tomar dos disjuntas (aparte de a $a$$b$) continuas curvas de conectarlos. El teorema del valor intermedio dice que en cada una de estas curvas de $f$ toma en cada valor en $[f(a),f(b)]$. Pero las curvas son distintos, por lo $f$ no es inyectiva. Por tanto no se homeomorphism.