Escribir la Función Beta, en términos de la Función Gamma

Question

Estoy estudiando la beta y gamma funciones y he visto un ejercicio que se le pide que re-escribir la función beta, en términos de la función gamma de la siguiente manera:

$B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)}$

El único indicio de que el ejercicio da es que usted debe comenzar con una función de la forma:

$f(\alpha,\beta,t)=\int_0^tx^{\alpha-1}(t-x)^{\beta-1}dx$

La primera cosa que noto es que el lado derecho puede ser considerado como una convolución de dos funciones, así:

$L[f]=L[x^\alpha-1]L[(t-x)^{\beta-1}]$

Sin embargo, esto sólo termina con la transformada de Laplace de f en el lado izquierdo y, a continuación, un lío de transformaciones en el derecho. La otra cosa es que si se establece $t=1$, $f$ se convierte en la función beta:

$f(\alpha,\beta,1)=B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx$

Por tanto, tengo la esperanza de que si puedo convertir $f$ a esta forma tenemos la beta de la función y, a continuación, lleve el producto de las transformadas de Laplace de las dos funciones de la convolución, que de alguna manera se presenta como un conjunto de integrales que son equivalentes a la identidad dada por una vez puedo usar la integral de la fórmula para la función gamma. Sin embargo, he intentado esto y tengo un lío, podría alguien ayudar (si esta es la manera correcta de hacerlo)?

Edit: he mirado en la Wikipedia y he visto que la identidad puede ser demostrado por tomar el producto de dos funciones gamma y, a continuación, el cambio de variables para mostrar que esto es $B(\alpha,\beta)\Gamma(\alpha+\beta)$: sin embargo, el ejercicio consiste en una sección sobre transformadas de Laplace, por eso creo que quiere que usted tome la transformada de Laplace de la función dada $f$ y trabajar de esa manera.

Answer 1

$$f(\alpha, \beta, t) = \int_0^t x^{\alpha -1} (t-x)^{\beta -1}\;dx = \big(t^{\alpha - 1} * t^{\beta -1}\big)(t)$$

así que, usando el hecho de que la convolución es multiplicativo en el dominio de Laplace, \begin{align} \mathcal{L}\{f(\alpha, \beta, t)\}(s) &= \mathcal{L}\{t^{\alpha-1}\}(s) \cdot \mathcal{L}\{t^{\beta - 1}\}(s)\\ &= \frac{\Gamma(\alpha)}{s^{\alpha}}\cdot \frac{\Gamma(\beta)}{s^{\beta}}\\ &= \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)} \cdot\underbrace{\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{s^{\alpha+\beta}}}_{\mathcal{L\{t^{\alpha+\beta - 1}\}(s)}} \end{align}

Tomando inversa de Laplace, podemos encontrar $$f(\alpha,\beta,t) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)} t^{\alpha+\beta -1}$$ por lo tanto, en $t=1$: $$B(\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$$

Answer 2

Aquí es otro enfoque, asumiendo que sólo estamos interesados en real $\alpha,\beta>0$.
Para un valor fijo de $\beta$ la función de $\int_{0}^{1}x^{\beta-1}(1-x)^{\alpha-1}\,dx $ es claramente positiva, continua y log-convexa con respecto a $\alpha$: la de Cauchy-Schwarz desigualdad demuestra el punto medio de registro de la convexidad y la continuidad de la mejora de esta sesión-convexidad. En particular $$g(\alpha)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\beta)}\int_{0}^{1}x^{\beta-1}(1-x)^{\alpha-1}\,dx $$ es positiva, continua y log-convexa. Por integración por partes tenemos $g(\alpha+1)=\alpha\cdot g(\alpha)$ $g(1)=1$ es trivial. Invocando la Bohr-Mollerup teorema tenemos $g(\alpha)=\Gamma(\alpha)$, por lo tanto $$ \Gamma(\alpha+\beta)\,B(\alpha,\beta) = \Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta) $$ como quería.