Los polinomios son densos en $L^2$

Question

Sé que la función $e^{inx}$ se puede aproximar uniformemente en $[-\pi,\pi]$ por polinomios en $x$ . Quiero usar esto para demostrar que los polinomios son densos en $L^2([-\pi,\pi])$ .

Supongamos que $f\in L^2([-\pi,\pi])$ . Quiero demostrar que para cualquier $\epsilon>0$ hay un polinomio $p$ tal que $|\int_{-\pi}^\pi (f(x)-p(x))^2dx|<\epsilon$ . Estaba pensando en escribir $f$ en términos de sus coeficientes, es decir $$f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \hat{f}(n)e^{inx}$$ Pero todavía no estoy seguro de cómo esto puede llevar al polinomio $p$ .

Answer 1

Dejemos que $\epsilon >0$ . Entonces, existe algún $N$ para que

$$\|f(x)- \sum_{n=-N}^N \hat{f}(n)e^{inx} \|_2 < \frac{\epsilon}{2}$$

Ahora, para cada $-N \le n \le N$ puedes encontrar algún polinomio $P_n$ para que

$$\| \hat{f}(n) e^{inx} - \hat{f}(n)P_n \|_2 < \frac{\epsilon}{2(2N+1)}$$

Ahora demuestre que $$P= \sum_{n=-N}^N \hat{f}(n) P_n$$ funciona.

Answer 2

Como se ha señalado aquí las combinaciones lineales de las funciones características de los intervalos son densas en $L^2$ por lo que basta con mostrar que se pueden aproximar arbitrariamente bien en la norma de $L^2$ por polinomios.

¿Puedes hacerlo?

Answer 3

Esta es otra forma.

Los polinomios son densos en $C[\pi,\pi]$ y podemos pensar en $C[\pi,\pi]$ como un subconjunto de $L^2[\pi,\pi]$ .

Además, $L^2[\pi,\pi]$ es la finalización de $C[\pi,\pi]$ con respecto a la $L^2[\pi,\pi]$ norma. Por tanto, los polinomios son densos en $L^2[\pi,\pi]$ .