Comportamiento de derivado cerca del cero de una función.

Question

Supongamos que la función $f:[0,\delta) \to \mathbb{R}$ es continua, diferenciable en $(0,\delta)$ y $f(0)=0$.

Si el % de límite $\displaystyle \lim_{x \to 0+}\frac{f(x)}{f'(x)}= L$existe, entonces es siempre el caso que $L = 0$.

Esto parece ser cierto tanto para las funciones con derivados bien-se comportó como $f(x) = x,$

$$\lim_{x \to 0+} \frac{f(x)}{f'(x)}=\lim_{x \to 0+} \frac{x}{1}=0,$$

Además de funciones con los "malos" derivados tales como

$$f(x) = \begin{cases}x \ln x &\mbox{if }x>0 ,\\0 &\mbox{if } x=0, \end{cases},$$

donde

$$\lim_{x \to 0+} \frac{f(x)}{f'(x)}=\lim_{x \to 0+} \frac{x \ln x }{1+ \ln x}=0.$$

¿Hay una prueba simple o contraejemplo?

Answer 1

No hay ninguna función $f$, que satisfaga sus suposiciones y también satisface $\lim \limits_{x \to 0+} \frac{f(x)}{f'(x)} \ne 0$.

Supongamos lo contrario. Si cada intervalo de $(0, \epsilon)$ contiene una raíz de $f$, el límite sólo puede ser $0$ [nota que asumimos que el límite existe]; por lo Tanto podemos asumir que $f$ no tiene raíces. Wlog $f > 0$ mantiene en $(0, \delta)$. Ahora podemos considerar $g(x) := \ln(f(x))$. A continuación, $g$ es diferenciable en a $(0, \delta)$ y satisface $\lim \limits_{x \to 0+} g(x) = -\infty$$\lim \limits_{x \to 0+} g'(x) = \frac{1}{L} < \infty$.

Esto significa que en algunos intervalo de $(0, \epsilon)$ la desigualdad de $|g'(x)| \le \frac{1}{|L|} + 1$ mantiene. Ahora la media-teorema del valor implica que para cada $x \in (0, \epsilon)$ el inequaliy $\left|\frac{g(x) - g(\epsilon)}{x - \epsilon}\right| \le \frac{1}{|L|} + 1$ mantiene, es decir,$g(x) \ge -(\frac{1}{L} + 1)(\epsilon - x) + g(\epsilon)$, lo cual es una contradicción a $\lim \limits_{x \to 0+} g(x) = -\infty$.

Tenga en cuenta que esta argumentación también funciona para $L = \infty$ si establecemos $\frac{1}{\infty} = 0$.

Answer 2

Hay un intervalo de $(0,\delta')$ donde $f'(x) \neq 0$. De lo contrario, $0$ es un punto límite de ceros de $f'(x)$ y el límite no podría existir. Por el valor medio teorema, tenemos para cada una de las $x \in (0,\delta')$ $\theta$ $0$ $x$ tal que

$$f(x) = f'(\theta)x \neq 0.$$

Por lo tanto, $f(x) > 0$ o $f(x) < 0.$ Asumir WLOG que $f(x) > 0$.

Supongamos que

$$\lim_{x \to 0+}\frac{f(x)}{f'(x)} = L > 0.$$

Existe $0 < \delta'' < \delta'$ tal que para $0 < x < \delta''$ hemos

$$\frac{L}{2} < \frac{f(x)}{f'(x)} < \frac{3L}{2}.$$

También se $L,f(x) > 0 \implies f'(x) > 0$ implica $f$ es cada vez mayor.

Por lo tanto, para todos los $x \in (0,\delta'')$

$$\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{x f'(\theta)}{f'(x)} = x \frac{f(\theta)}{f(x)} \frac{f'(\theta)}{f(\theta)} \frac{f(x)}{f'(x)} < x (1)\frac{2}{L}\frac{3L}{2} = 3x \to 0.$$

Por lo tanto, no podemos tener a $L>0$ y sólo puede tener $L =0$.

Answer 3

Desde $\dfrac{f(x)}{f'(x)} \to L$ $x \to 0^{+}$ se sigue que $f'(x) \neq 0$ $x \to 0^{+}$ y por el Teorema de Darboux (o simplemente intermedio valor de la propiedad de los derivados) implica que $f'(x)$ es de signo constante como $x \to 0^{+}$. Supongamos que $f'(x) > 0$, de modo que $f(x) > f(0) = 0$$x \to 0$. De ello se desprende que $L \geq 0$.

Supongamos que $L > 0$, entonces sabemos que $$\frac{f(x)}{f'(x)} > \frac{L}{2}\tag{1}$$ as $x \a 0^{+}$. We now consider the function $g(x) = e^{-2x/L}f(x)$. Then $$g'(x) = e^{-2x/L}f'(x)\left\{1 - \frac{2}{L}\cdot\frac{f(x)}{f'(x)}\right\} < 0\tag{2}$$ as $x \a 0^{+}$. Thus we see that $g(x)$ is a strictly decreasing function of $x$ in some interval of the form $[0, \delta)$ and $g(0) = 0$ implies that $g(x) < 0$ in the interval $(0, \delta)$. But clearly since $f(x) > 0$ in this interval, it implies that $g(x) > 0$. This contradiction proves that $L = 0$.

El caso de al $f'(x) < 0$ $x \to 0^{+}$ también puede ser cubierta en exactamente la misma manera.

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Nota: La ecuación de $(1)$ arriba me recuerda a la famosa pregunta de tratar con $f'(x) \leq cf(x)$ (véase el problema 2, también ver esta pregunta en MSE) y he utilizado la misma técnica.