La analítica de la función $f$ tal que $(f(z))^n= f(z^n)$

Question

Deje $f(z) = \sum_{k\geq 0}a_kz^k$ ser una analítica de la función, donde$a_k\in\mathbb{C}$$k\geq 0$. Estoy tratando de conseguir algunas condiciones para $a_k$ que nos da la forma general de la $f$ tal que $(f(z))^n= f(z^n)$.

Lo que he tratado es el uso de la Multinomial Teorema, pero me quedo atascado al intentar calcular los coeficientes de $(f(z))^n$.

Me gustaría obtener la solución general, pero en realidad solo tengo dos casos: si cualquiera de las $a_0 = f(0) = 0$ o $a_1 = f'(0) = 0$.

Gracias!

Answer 1

Si $n \le 2$ la caracterización es inmediata, por lo que asumir lo contrario.

Lema. Si $f(0) \ne 0$, $f(z) \equiv \zeta$ donde $\zeta$ $(n-1)$- ésima raíz de la unidad.

Prueba. Recorrer en la igualdad, encontrando que para cualquier $k \in \mathbb{N}$ hemos

$$f(\lambda^{n^k}) = f(\lambda)^{n^k}$$

Aplicando esto a $\lambda \in \mathbb{D}$ y dejando $k \to \infty$, nos encontramos con que $f(\lambda)^{n^k} \to f(0) \ne 0$ por supuesto. Ciertamente, esto implica que $|f(\lambda)| = 1$, y por lo tanto $f$ es algunos unimodular constante. La aplicación de la ecuación con $z = 1$, a continuación, muestra que la constante es una $(n-1)$-ésima raíz de la unidad.

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Así que ahora podemos considerar el caso de que $f(0) = 0$. Deje $m$ ser el orden de $0$ cero de $f$ (si está definido) y mira

$$g(z) = \frac{f(z)}{z^m}$$

con la definición obvia en $z = 0$. Esta función $g$ satisface la misma ecuación funcional que $f$ hace y tiene valor distinto de cero en $0$ (donde se aplica el teorema de identidad a $g(z^n) - g(z)^n$ a conseguir la igualdad en el origen). Por el lema, $f(z) = z^m \zeta$ $(n-1)$- ésima raíz de la unidad.

Por lo tanto, todas las soluciones son de la forma$f(z) = z^m \zeta$$\zeta^{n - 1} = 1$, y el cero de la función.