Demostrar que dos de permutación de grupos son isomorfos

Question

Aquí está la declaración de probar: Vamos a $n,m$ dos enteros positivos con $m≤n$.

Demostrar que $S_m$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$ donde $S_n$ es el conjunto de todas las permutaciones del conjunto $n$, no vacío, y $S_m$ es el conjunto de todas las permutaciones del conjunto $m$, no vacío.

Estoy bastante perdido aquí. Es suficiente elegir un subconjunto de a$S_n$,$n=m$, que tiene orden de $m!$? Que quiere decir que la $S_n$,$n=m$, e $S_m$ sería isomorfo a $Z6.$

Answer 1

Recordar lo que significa ser isomorfo: un bijective homomorphism. Usted está en el camino correcto: si $S_m$ es bijective a un subgrupo de $S_n$, subgrupo debe tener un orden $|S_m|=m!$.

Sin embargo, usted necesita un poco más: que el subgrupo también deben tener la misma estructura del grupo (es un bijective homomorphism, no sólo un bijection!): a grandes rasgos, "par" cada elemento de a $S_m$ con un elemento del subgrupo de $S_n$ (bijection), de manera que la multiplicación se ve igual en ambos grupos (homomorphism). Para obtener una definición rigurosa, revisa tu libro de texto.

Como usted dijo, $S_m$ es el permutaciones del conjunto $\{1, \ldots, m\}$, e $S_n$ es el permutaciones del conjunto $\{1, \ldots, m, \ldots, n\}$. ¿Ve usted una manera natural a asociar a cada permutación de $S_m$ uno en $S_n$?

Answer 2

Para cada una de las $\sigma \in S_m$, definir un permuation $\hat{\sigma}$ $\{1,2,\ldots, n\}$ por $$\hat{\sigma}(j) = \begin{cases} \sigma(j) &: j\leq m \\ j &: j > m \end{casos}$$ Compruebe que $\hat{\sigma} \in S_n$ y que $$\sigma \mapsto \hat{\sigma}$$ es un isomorfismo.

Answer 3

Si tienes que elegir un subconjunto de m símbolos de lo que sería el orden de la permutación grupo? Considere la posibilidad de un permuation en los m símbolos. ¿Cuáles son las formas posibles de una permutación puede asignar los m símbolos a sí mismo? Así que, ¿cuál es el número de elementos del conjunto de permutaciones? A continuación, utilice las propiedades de permutaciones para mostrar que el conjunto de permutaciones es un grupo?