Cardinalidad de un espacio vectorial frente a la cardinalidad de su base

Question

Dejemos que $V$ un espacio vectorial de dimensión infinita.

Cómo demostrar que la cardinalidad de $V$ es el mismo de una base de $V$ ?

He visto este argumento aquí enlace en la respuesta principal (MathOverFlow).

Answer 1

Necesita la suposición adicional de que $\dim_F V \ge |F|$ (donde $F$ es el campo base).

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial sobre un campo $F$ y que $B \subseteq V$ sea una base. Supongamos que $B$ es infinito. Hay una suryección $(F \times B)^{<\omega} \to V$ dado por $$(( a_i, v_i) : i < n) \mapsto \sum_{i<n} a_iv_i$$ Así que tenemos $$|V| \le |(F \times B)^{<\omega}| = \sum_{n<\omega} |F \times B|^n \le \aleph_0 \cdot |F| \cdot |B| = \max \{ \aleph_0, |F|, |B| \}$$ Así que si $B$ es infinito y $|B| \ge |F|$ entonces obtenemos $|V| \le |B| = \dim_F V$ . (Y obviamente $|V| \ge \dim_F V$ por lo que tenemos igualdad).