Las diferencias, progresiones geométricas y convergencia - $ |x_{n+1} - x_n| \leq ac^n \implies \exists\ L : x_n \to L$

Question

Tengo una pregunta persistente de mitad de período en análisis real que realmente me gustaría han contestado. La primera vez que me respondió a la pregunta, he recibido un 2/10 para absolutamente destrozando la definición de convergencia. (Por mi lógica, $\frac{1}{n}, \sqrt{n}$ convergente.) Me re-hizo problema por lo que equivalía a karma, y tiene un 4/10. Una declaración formal de lo que estoy tratando de demostrar es, dada una secuencia $x_n$ de los números reales: $$\exists\ a > 0 \land c \in (0, 1) : \forall\ n \geq 1, |x_{n+1} - x_n| \leq ac^n \implies \exists\ L : x_n \to L$$

Esencialmente, se nos da una secuencia $x_n$ en los números reales, en donde la diferencia de términos consecutivos $|x_{n+1} - x_n|$ fue siempre menor que el término apropiado en algunos términos de la progresión geométrica, $ac^n$. Nos dijeron que para demostrar que esta secuencia fue pre-convergente, donde pre-convergencia se define como: $$\forall\ \varepsilon > 0, \exists\ N \in \Bbb N : n \geq N \implies |a_n - a_N| < \varepsilon$$ He abordado el problema en la primera demostración de que el conjunto de pre-secuencias convergentes es equivalente al conjunto de secuencias de Cauchy (y por lo tanto convergente en juegos completos). Entonces, noté que $\forall\ r \in \Re, 0 \leq |r|$, por lo que he construido las secuencias de $z_n = 0$ donde el siguiente lugar: $$ z_n \leq |x_{n+1}-x_n| \leq ac^n$$ Aplicando el teorema del encaje, era fácil mostrar que la secuencia de las diferencias convergente a cero, pero no tengo idea de a dónde ir a partir de ahí...

¿Alguien puede arrojar algo de definitivo de luz sobre esto?

Answer 1

La idea es utilizar la serie geométrica. Es decir, $$ |x_M-x_N|=\left|\sum_{n=N+1}^M x_n-x_{n-1}\right|\leq\sum_{n=N+1}^M |x_n-x_{n-1}|\leq\sum_{n=N+1}^M ac^n=\frac{ac^{N+1}-ca^M}{1-c}\leq\frac{ac^{N+1}}{1-c}. $$ Como $c\in(0,1)$, el lado derecho tiende a cero cuando $N\to\infty$. Ahora bien, dado $\varepsilon>0$, se puede elegir $N$ adecuadamente para demostrar que la sucesión es de Cauchy (o pre-convergente).

Answer 2

Deje $n\gt m$. Tenemos $$|x_m-x_n|=(x_m-x_{m+1})+(x_{m+1}-x_{m+2}) +\cdots +(x_{n-1}-x_n).$$ Por la Desigualdad de Triángulo, se sigue que $$|x_m-x_n|\le |x_m-x_{m+1}|+|x_{m+1}-x_{m+2}| +\cdots +|x_{n-1}-x_n|.$$ Por nuestra suposición, $$|x_m-x_n|\le ac^m +ac^{m+1}+\cdots +ac^{n-1}.$$ La expresión de la derecha es menor que la suma de la infinita serie geométrica $ac^m+ac^{m+1}+\cdots$.

Esa suma es $c^m \dfrac{a}{1-c}$. Va a$0$$m\to\infty$, por lo que nuestra secuencia $(x_n)$ es una secuencia de Cauchy, y por lo tanto converge.