Usando la división larga para dividir un polinomio por otro de un grado superior

Question

Mi amigo y yo estábamos encontrando la expansión en series de la función $\frac{2x}{x^2+1}$. Naturalmente, fui por el método de expansión de Maclaurin, usando los diferenciales para encontrar la expansión en series. La respuesta que obtuve (que es correcta) es $$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n 2x^{(2n+1)} $$ El problema es que me llevó un tiempo diferenciar lo suficiente como para ver el patrón. Mi amigo, sin embargo, hizo algo mucho más rápido: ¡usó la división larga! $$ \require{enclose} \begin{array}{r} \end{array} {x^2+1} \enclose{longdiv}{2x} $$ Aparentemente, en lugar de usar $x^2$ (la potencia más alta de x) como el sujeto de su división, usó 1 (la potencia más baja de $x$), y obtuvo la respuesta casi inmediatamente. Ejemplo: 1 entra en $2x$ $2x$ veces, y $(2x)({x^2+1}) = ({2x^3+2x})$. Resta esto de $2x$ y continúa.

No pude encontrar ninguna evidencia de este tipo de división larga en ningún lugar, y tengo problemas para entender la lógica detrás de ello. ¿Cómo puede empezar a restar algo mayor que $2x$ de $2x$? ¿Qué tipo de división larga es esta?

¿Podría alguien por favor ayudarme a entender?

Answer 1

Por división larga obtenemos

$$\frac{1}{x^2+1}=\frac{x^2+1-x^2}{x^2+1}=1-\frac{x^2}{x^2+1}=1-\frac{x^4+x^2-x^4}{x^2+1}=1-x^2+\frac{x^4}{x^2+1}=$$

y así sucesivamente.

Como alternativa, observa que

$$\frac{2x}{x^2+1}=2x(1+x^2)^{-1}$$

luego usa la expansión binomial para $(1+x^2)^{-1}$.

Answer 2

Este tipo de división larga se utiliza en muchos lugares.

Por ejemplo $$\frac {1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+....$$ $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+....$$ $$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+....$$

Es mucho más fácil obtener tus series de esta manera que pasar por mucha diferenciación.

Answer 3

Si $f, g$ son dos polinomios tales que $\deg f\geq \deg g$, entonces la división larga de $f$ por $g$ siempre termina con un polinomio cociente único y un residuo constante (esto es el algoritmo de división).

Si, sin embargo, $\deg f\lt \deg g$, entonces el algoritmo nunca termina y la serie infinita que generas como cociente se convierte en la serie de potencias de $f/g$. Por supuesto, la convergencia de esta serie de potencias debe ser verificada con $f/g$ para asegurar que la serie de potencias obtenida es la correcta.

Piénsalo de manera análoga a dividir $1$ entre $3$ usando la división larga para obtener la representación decimal de $1/3$: siempre obtienes el residuo $10$ que es $> 3$ y el algoritmo de división nunca termina.

Answer 4

La razón por la que generalmente vamos con el término principal en la división de polinomios es porque esto hará que cancelemos el término principal en el numerador. Esto hace que el grado total con el que estamos trabajando disminuya y nos detenemos cuando no podemos avanzar más.

Pero, esto solo funciona si el término principal del denominador es menor que el término principal del numerador. Por lo tanto, no deberíamos poder aplicarlo a algo como $\frac{2x}{x^2+1}$.

Pero, hay que tener en cuenta que el término final en el denominador tiene un grado menor que el término final en el numerador. Esto significa que siempre podemos hacer que los términos finales sean iguales. Hacerlo de esta manera hará que el grado total de la salida sea mayor, por lo tanto obtenemos la expansión en serie de la función racional.

Entonces, en tu ejemplo, $2x=2x(x^2+1)-2x^3$. Aquí simplemente estamos haciendo que la parte de $+1$ de $x^2+1$ sea igual a $2x$ y luego restamos lo que sobra (algunos pueden llamarlo el resto). Con esto, puedes escribir

$$ \frac{2x}{x^2+1} = 2x - \frac{2x^3}{x^2+1} $$ Observa que la potencia en el numerador aumentó, así que podemos hacer esto nuevamente, pero con $-\frac{2x^3}{x^2+1}$. En este caso, $-2x^3=-2x^3(x^2+1) + 2x^5$, y por lo tanto en general tenemos $$ \frac{2x}{x^2+1} = 2x - 2x^3 + \frac{2x^5}{x^2+1} $$ Y, nuevamente, la potencia en el numerador aumentó. Dado que podemos aumentar esto sin límite, podemos continuar para obtener la expansión en serie de potencias.

Answer 5

Entonces básicamente quieres entender solo la división larga.

¿Cuántas veces cabe $x^2$ en $2x$?

Deja que $k=\text{cantidad de veces que }x^2 \text{ cabe en }2x$

$$kx^2=2x$$ $$k=\dfrac{2x}{x^2}$$

Por lo tanto, $x^2$ cabe en $2x$ $\dfrac {2x}{x^2}$ veces.

Tu amigo habría continuado haciendo $1\times \dfrac{2x}{x^2}=\dfrac{2x}{x^2}$, para obtener un cociente de $\dfrac{2x}{x^2}+\dfrac{-\frac{2x}{x^2}}{2x}$, que luego habría simplificado.