Supongamos que tenemos dos funciones, $f:X\rightarrow Y$ y $g:Y\rightarrow Z$ . Si ambas funciones son onto, ¿cómo podemos demostrar que $g\circ f:X\rightarrow Z$ ¿también está en?
Respuestas
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Tenga en cuenta que $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ . Así que si $f$ es en, entonces significa para todos $y \in Y$ existe un $x \in X$ tal que $ y=f(x)$ . Desde $g$ es en, también meas que para todo $z \in Z$ existe un $ y \in Y$ tal que $g(y)=g(f(x))=z$ . Así, para todos los $z\in Z$ existe un $x \in X$ tal que $g(f(x))=z$ . Por lo tanto, $g\circ f$ está en.
Un punto importante que debe saber de la construcción anterior es que $g\circ f$ sigue en pie aunque $f$ no es sobre sino $g$ es en. En otras palabras $g$ tiene que ser necesariamente para $g\circ f$ para estar sobre.
DanV
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281
Lo importante cuando se empieza a estudiar matemáticas es seguir siempre con atención y despacio las definiciones y teoremas que se han visto en clase.
Definición: Dejemos que $f\colon A\to B$ decimos que $f$ es surjective si para cada $b\in B$ hay algo de $a\in A$ tal que $f(a)=b$ .
Definición: Dejemos que $f\colon A\to B$ y $g\colon B\to C$ definimos las funciones composición $g\circ f$ como la función: $(g\circ f)(x) = g(f(x))$ .
Por supuesto, es perfectamente posible que te hayan dado definiciones diferentes en el curso/libro/etc. con el que estudias la teoría de conjuntos. Si efectivamente estas no son las definiciones puedes intentar demostrar la afirmación a partir de las definiciones que te dieron, o intentar demostrar que las definiciones anteriores son las mismas.
Supongamos ahora que $f\colon X\to Y$ y $g\colon Y\to Z$ son dos funciones suryentes, sea $h$ sea la composición, es decir $h=g\circ f\colon X\to Z$ . Si queremos demostrar que $h$ es proyectiva, entonces tenemos que tomar un elemento $z\in Z$ y demostrar que para algunos $x\in X$ tenemos $h(x)=z$ .
Como también sabemos que $f,g$ son suryentes podemos elegir algún $y\in Y$ tal que $g(y)=z$ y algunos $x\in X$ tal que $f(x)=y$ .
Ahora bien, ¿qué podemos decir de $h(x)$ ?
jmans
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3018
Presentar un enfoque diferente de la solución: Digamos que una función $f:A\to B$ es anulable por la derecha si para todas las funciones $g,h:B\to X$ , si $g\circ f = h\circ f$ entonces $g=h$ .
Ejercicio: demostrar que una función $f$ es sobreyectiva si, y sólo si, es cancelable por la derecha.
Ahora bien, si $f:A\to B$ y $f':B\to C$ son suryentes, entonces cada una es cancelable por la derecha. Así que ahora, dado $g,h:C\to X$ , si $g\circ (f'\circ f)=h\circ (f'\circ f)$ entonces $(g\circ f')\circ f=(h\circ f')\circ f$ y por lo tanto $g\circ f'=h\circ f'$ y por lo tanto $g=h$ . En resumen, la composición de funciones anulables por la derecha es (trivialmente) anulable por la derecha. Y esto demuestra que la composición de funciones suryentes es suryente.
Curiosamente, el concepto de función anulable por la izquierda (definida de forma obvia) corresponde precisamente a una función inyectiva. Esto revela una dualidad no trivial entre el concepto de función suryectiva y el de función inyectiva.
