El teorema de Hahn Banach y las funciones sublineales

Question

Me parece extraño que sea una propiedad tan útil que una función lineal esté limitada por una función sublinear. ¿Qué información da realmente?

Deje que $X$ ser un espacio Banach y $p,f:X \to\mathbb {R}$ . Bueno, me doy cuenta de que si $p$ es un funcional sublinear y $f$ es lineal, la condición $|f(x)| \le p(x)$ es más débil que la condición $||f||< \infty $ . ¿Pero qué implica realmente? Quiero decir ok, si $p$ está limitada entonces $f$ está limitado, pero lo que es $p$ no está limitado?

Por ejemplo, si $f$ se define en $V$ un subespacio de $X$ y tomamos $ \lim_ {\,n \to\infty }f(x_n)$ con $x_n \to x \in\overline {V} \backslash V$ ¿podemos deducir que el límite existe (con la posibilidad de ser infinito) o puede incluso no existir en absoluto? ¿Obtuvimos alguna información sobre el espectro de $f$ ?

Answer 1

Creo que el punto principal de la condición es que Hahn Banach se aplica en más generalidades que los espacios normalizados.

Por ejemplo, se puede demostrar que dos conjuntos convexos cualesquiera en un espacio vectorial topológico (ni siquiera localmente convexo), con uno de ellos abierto, pueden separarse mediante una función continua (es decir, el "teorema geométrico de Hahn-Banach"). La prueba utiliza Hahn Banach donde $p$ es la función de Minkowski de un bien elegido barrio de cero.