Cómo debe ser la relativizada Kleene pointclass $\Sigma^1_1(A)$ ser definido?

Question

Cómo debe ser la relativizada Kleene pointclass $\Sigma^1_1(A)$ ser definido, al $A$ es un conjunto de reales ($A \subset \omega^\omega$)? Supongo que no hay una definición estándar, pero me parece que no puede encontrar en la impresión.

Me hicieron una pregunta en mathoverflow acerca de este pointclass, y entonces se dio cuenta de que yo no sabía de qué estaba hablando. He aquí la definición que yo intento darle lo que hay:

Un $\Sigma^1_1(A)$ set es un conjunto definible por una $\Sigma^1_1(A)$ fórmula, que es como un $\Sigma^1_1$ fórmula excepto que el lenguaje se expande por medio de un predicado símbolo de $A$.

Definimos la clase de $\Delta^0_1(A)$ fórmulas de forma recursiva por comenzando con fórmulas atómicas (incluyendo ahora la fórmula $A(x)$) y la aplicación de $\neg$, $\wedge$, $\vee$, $\forall^\omega$, y $\exists^\omega$. A continuación, el $\Sigma^1_1(A)$ fórmulas se obtienen mediante la adición de bloques de real cuantificadores existenciales $\exists^{\omega^\omega} x_1 \cdots \exists^{\omega^\omega} x_n$ delante de $\Delta^0_1(A)$ fórmulas.

Sin embargo, yo no creo que esta sea la definición correcta. Por ejemplo, yo creo que si $A$ es una relación binaria en los reales, a continuación, la declaración "$A$ es infundada" debería ser $\Sigma^1_1(A)$, pero la definición anterior no parece permitir preguntando acerca de la pertenencia de countably muchos pares ordenados de reales (tal como ha sido codificado por un solo real) en $A$. Además, no es claro para mí que el pointclass definido anteriormente, es cerrado bajo recursiva de sustitución.

Answer 1

El pointclasses $\Sigma^1_1(A)$ algunas $A\subseteq \mathbb{R}$ se define de la siguiente manera: un conjunto $B$ $\Sigma^1_1(A)$ fib hay $\Sigma^1_1$ conjuntos de $C$ $D$ tal que $B(x) \leftrightarrow C(x) \vee \exists y (\forall n (y)_n\in A \wedge D(\langle x,y\rangle))$. Observe que $A\in \Sigma^1_1(A)$ y el pointclass $\Sigma^1_1(A)$ es cerrado bajo $\exists^{\mathbb{R}}$, $\vee, \wedge$ y tiene un conjunto universal (el cual puede ser definido usando el universal $\Sigma^1_1$ conjuntos de $U$). El pointclasses $\Pi^1_1(A)$ $\Sigma^1_n(A)$ se definen de manera similar.

Answer 2

EDIT: Tomando la definición de Barwise "admisible conjuntos y estructuras", la colección de $R$-positivo fórmulas de la lengua $L^*\cup \{{R}\}$ es es el más pequeño de la clase de las fórmulas que contienen todas las fórmulas de $L^*$, todas las fórmulas atómicas de $L^*\cup\{R\}$, y cerró en virtud de $\vee$, $\wedge$, $\forall u \in v$, $\exists u \in v$, $\forall u$, $\exists u$. La imposición de la jerarquía de las $R$-positivo fórmulas pueden ser definidos como de costumbre.

Un subconjunto $C\subseteq \omega^\omega$ $\Sigma^1_1(A)$ fib no es positivo $\Sigma_1$ $R$-fórmula positiva $\phi$ tal que $C(x)$ fib $(\mathcal{P}(\omega),\omega,\in,A) \models \phi(x)$.

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Como recuerda Trevor, otro enfoque es ir a través de Moschovakis conjunto de inducción. $\text{pos}\Sigma^0_1(A)$ es el más pequeño y monótono $\Sigma$-colección que contiene la evaluación-en-$A$ relación: $$E(w,x,B) \text{ iff } A(w).$$ Aquí $E$ es un conjunto de relación. Todas las terminologías son de acuerdo a Moschovakis del libro. $\text{pos}\Sigma^0_n(A)$, $\text{pos}\Pi^0_n(A)$ se definen por la alternancia de los cuantificadores en $\omega$. Un conjunto $C$ $\Pi^1_1(A)$ fib $C$ $\text{pos}\Sigma^0_\omega(A)$- inductivo. De acuerdo a 7C.2, $C$ $\Pi^1_1(A)$ fib $C$ $\text{pos}\Delta^0_2(A)$- inductivo, o cuando el subyacente espacio es el estándar de espacio de Baire, $\text{pos}\Pi^0_1(A)$-inductivo.