¿Existe una expresión de forma cerrada para la integral de este producto de funciones gaussianas?

Question

Considerando: $$f(x) = \frac{1}{\sigma_x\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x}{\sigma_x})^2}$$

$$g_i(x) = \frac{1}{\sigma_i\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{a_i+b_ix}{\sigma_i})^2}$$

¿Existe una expresión de forma cerrada para esta integral? $$\int_{-\infty}^{+\infty} \left(f(x)\cdot\prod_i g_i(x)\right) \, \mathrm{d} x$$

Answer 1

\begin {align} \sum_ {i=1}^n \left ( \frac {a_i+b_ix}{ \sigma_i } \right )^2 & = \left ( \sum_ {i=1}^n \left ( \frac {b_i}{ \sigma_i } \right )^2 \right ) x^2 + 2 \left ( \sum_ {i=1}^n \frac {a_i b_i}{ \sigma_i ^2} \right ) x + \left ( \sum_ {i=1}^n \left ( \frac {a_i}{ \sigma_i } \right )^2 \right ) \\ [12pt] & = Ax^2 + Bx + C \\ [12pt] & = A \left (x+ \frac {B}{2A} \right )^2 + C - \frac {B^2}{4A}. \end {align} Así se obtiene otra función gaussiana.

(Actualización: término B corregido)